§ 2. Решение систем линейных уравнений

Метод Крамера

П усть система из линейных уравнений с неизвестными записана в матричной форме: , где — матрица системы,

— столбец неизвестных, — столбец свободных членов.

Пусть — определитель матрицы и пусть , т.е.

П равило Крамера. Если определитель системы (1) , то эта система совместна и определённа, т.е. имеет единственное решение, получаемое по формулам: , где — определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца на столбец свободных членов.

Пример 2.1. Решите систему уравнений по формулам Крамера:

Н айдём определитель матрицы системы: .

Т.к. , то решение системы существует и единственно.

Найдём определитель . В определитель вместо первого столбца подставим столбец свободных членов :

.

Определитель получается из подстановкой столбца свободных членов вместо второго столбца :

.

Отсюда получим решение системы уравнений:

; .

О твет:

М атричный метод

Пусть система из линейных уравнений с неизвестными записана в матричной форме: , Тогда, если определитель , то система совместна и определённа, её решение задаётся формулой:

Пример 2.2. Решите систему уравнений примера 2.1 с помощью обратной матрицы: .

1. Т .к. , то решение системы существует и единственно.

2. Найдём алгебраические дополнения к элементам матрицы : , , , .

3. Найдём присоединённую матрицу: .

4. Найдём матрицу : .

5. Найдём решение системы уравнений:

.

О твет: .

Пример 2.3. Решите систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

I способ, метод Крамера.

.

.

.

.

, , .

О твет:

I I способ, метод обратной матрицы.

1) .

2)

Алгебраические дополнения элементов матрицы :

3) Присоединенная матрица:

.

4) Обратная матрица:

.

5) Решение системы:

.

О твет:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

П роцесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе система (1) приводится к одной из следующих систем:

• (2)

где , .

• (3)

где .

• (4)

г де .

На втором этапе:

• система (2) имеет единственное решение, значение находится из последнего уравнения, значение — из предпоследнего,…,значение — из первого;

• система (3) имеет бесконечное множество решений;

• система (4) несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворять её последнему уравнению.

М етод Гаусса. применим к любой (!) системе линейных уравнений.

Опишем метод Гаусса подробнее на примере.

Пример 2.4. Исследуйте систему линейных уравнений примера 2.1; и если она совместна, то найдите её решение:

I . Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (**) (см. §1), система совместна и определённа, т.е. существует единственное решение.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: Имеем систему вида (2). Из второго уравнения . Подставляя это значение в первое уравнение, получим: .

О твет:

Пример 2.5. Исследуйте систему линейных уравнений примера 2.3, и если она совместна, то найдите её решение:

I . Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ ~

~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (**) (см. §1), система совместна и определённа, т.е. существует единственное решение.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Имеем систему вида (2). Из третьего уравнения .

Подставляя это значение во второе уравнение, получим: .

Подставляя найденные значения в первое уравнение, получим: .

О твет:

Пример 2.6. Исследуйте систему линейных уравнений, и если она совместна, то найдите её решение:

I . Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ ~~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (***) (см. §1), система совместна и неопределённа, т.е. имеет бесконечно много решений.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Имеем систему вида (3). Выразим из второго уравнения и подставим полученное выражение в первое уравнение:

.

Следовательно, исходная система имеет решение где , могут принимать любые действительные значения.

О твет:

Продукт	Сырье
	I	II
	3	1,5
	2	4
Запасы	60	75

Пример 2.7. Цех выпускает два вида продукции и , полностью используя для их производства сырье вида I и вида II. В таблице указано число единиц сырья I и II, необходимых для производства одной единицы продукции и , а также имеющиеся запасы сырья.

Может ли цех удовлетворить заказ трёх торговых организаций:

Продукт	Заказ I организации	Заказ II организации	Заказ III организации
	2	3	3
	5	6	4

П усть и — количество единиц продукции и соответственно, которое может выпустить цех при данных условиях производства. Тогда данные первой таблицы можно представить системой уравнений:

Решим её методом Гаусса.

~

Т.е. цех произведёт 10 единиц продукта , 15 единиц — продукта .

Выясним, сможет ли цех выполнить заказ.

Д ля выполнения заказа нужно единиц продукта и единиц продукта . Следовательно, цех может выполнить заказ.

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

1. Понятие системы линейных уравнений с неизвестными.

2. Матричный способ решения системы уравнений (метод обратной матрицы).

3. Метод Крамера решения систем уравнений.

4. Метод Гаусса решения систем уравнений.

5. Понятие однородных систем уравнений.

6. Теорема Кронекера-Капелли.