§ 3. Прямые в решениях экономических задач.

Известно, что стоимость перевозки груза состоит из расходов, не связанных с расстоянием перевозки (погрузка, выгрузка, доставка на пункт отправления и т.д.) и из расходов, пропорциональных расстоянию (расход топлива, оплата везущему грузы и т. д.). Пусть — цена перевозки груза на единицу расстояния, а — цена, не зависящая от расстояния . Тогда общая стоимость перевозки груза составит .

Пример 4.6. Груз можно перевести железнодорожным или автотранспортом. Стоимость перевозки по железной дороге , а машиной — . Каким транспортом дешевле перевести груз?

Н айдём точку пересечения прямых (I) и (II). Для этого решим систему:

. Подставим в одно из уравнений системы, получим . Итак, — точка пересечения прямых.

П остроим прямые (I) и (II) в системе . Для построения каждой прямой достаточно взять две точки (см. пример 4.1):

(I) (II) .

И з чертежа ясно, что при выгоднее использовать автотранспорт, т.к. значения прямой II меньше значений прямой I, т.е. стоимость перевозки меньше. При экономически выгоднее использовать железную дорогу.

Пример 4.7. При одном и том же способе производства, при производстве товара издержки производства составляют , а при производстве товара издержки производства составляют . Найдите переменные издержки , приходящиеся на единицу продукции и постоянные издержки производства. (Предполагается линейная зависимость издержек от производства товара).

Т ак как зависимость издержек от производства товара линейная, найдём её, воспользовавшись формулой (5) § 1:

Выразим , т.е. перейдём к уравнению вида .

Т аким образом, .

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

1. Общее уравнение прямой.

2. Понятие направляющего и нормального вектора прямой.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

4. Уравнение прямой в отрезках.

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором.

7. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

8. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором.

9. Формула для нахождения угла между прямыми.

10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

11. Расстояние от точки до прямой.

Контрольный тест

1. Уравнение вида называется:

а) уравнением прямой в отрезках; б) общим уравнением прямой; в) каноническим уравнением прямой; г) уравнением прямой с угловым коэффициентом.

2. Уравнение прямой на плоскости, параллельной оси , имеет вид:

а) , ; б) , ; в) , ; г) , , , .

3. Прямая отсекает на оси отрезок, равный:

а) 4; б) -3; в) 3; г) 1.

4. Прямая на плоскости расположена:

а) параллельно оси ; б) параллельно оси ;

в) совпадает с осью ; г) совпадает с осью .

5. Как расположены прямые , на плоскости относительно друг друга:

а) параллельны; б) перпендикулярны;

в) пересекаются; г) совпадают.

6. Как расположена точка относительно прямой :

а) точка не принадлежит прямой; б) точка принадлежит прямой; в) точка лежит выше прямой; г) точка лежит ниже прямой.

7. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

а) ; б) ;

в) ; г) .

8. Условие перпендикулярности прямых и :

а) ; б) ;

в) ; г) .

9. Уравнение прямой на плоскости имеет угловой коэффициент равный:

а) ; б) ; в) ; г) .

10. Прямая на плоскости, проходящая через две точки и имеет уравнение вида:

а) ; б) ; в) ;

г) .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕШЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 4.1. Дана прямая . Выпишите её вектор нормали, найдите угловой коэффициент, постройте прямую на плоскости.

Ответ: , .

Задача 4.2. Выберите из прямых I – V параллельные и перпендикулярные, определите угол между прямыми I и VI:

(I) ;	(II) ;	(III) ;
(IV) ;	(V) ;	(VI) .

Ответ: прямые I и III, II и V параллельны;

прямые I и II, I и V, II и III, III и V перпендикулярны;

.

Задача 4.3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с положительным направлением оси угол .

Ответ: .

Задача 4.4. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку параллельно и перпендикулярно прямой .

Ответ: ; .

Задача 4.5. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки , .

Ответ: .

Задача 4.6. В треугольнике с вершинами , , найдите уравнение стороны , медианы и высоты , а также длину высоты .

Ответ: : ;

: ;

: ; .