- •Isbn 978-985-519-056-2 © бгату, 2009 Предисловие
- •Учебная программа по учебной дисциплине
- •Модуль 4 Аналитическая геометрия
- •Модуль 8 Функции нескольких переменных
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •М одуль 1. Линейная алгебра
- •§ 1. Определители
- •С войства определителей.
- •§ 2. Матрицы
- •§ 3. Основные операции над матрицами
- •§ 4. Транспонированная матрица
- •§ 5. Обратная матрица
- •§ 6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
- •Контрольный тест
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 1. Теорема Кронекера-Капелли
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений
- •Контрольный тест
- •Модуль 3. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Операции над ними.
- •Сложение векторов.
- •Произведение вектора на число.
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Длина вектора.
- •§ 3. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Контрольный тест
- •М одуль 4.
- •§ 1. Прямая на плоскости.
- •3 . Уравнение прямой в отрезках:
- •6 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:
- •§ 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •§ 3. Прямые в решениях экономических задач.
- •Контрольный тест
- •Модуль 5. Кривые второго порядка
- •§ 1. Окружность
- •§ 2.Эллипс
- •§ 3. Гипербола
- •§ 4. Парабола
- •Контрольный тест
- •М одуль 6. ФункциЯ одной переменной. Непрерывность функции одной переменной.
- •§ 1. Определение функции и способы её задания.
- •§ 2. Использование элементарных функций в экономике
- •§ 3. Предел числовой последовательности. Предел функции.
- •Односторонние пределы
- •§ 4. Теоремы о пределах.
- •З амечательные пределы
- •§ 3. Непрерывность функции.
- •Контрольный тест
- •§ 1. Производная функции,
- •§ 2. Таблица производных.
- •§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •§ 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.
- •§ 5. Признаки возрастания и убывания функций. Интервалы монотонности функций.
- •§ 6. Экстремум функции. Необходимый признак.
- •§ 7. Достаточные признаки экстремума функции.
- •§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •§ 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§ 10. Асимптоты графика функции.
- •§ 11. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Контрольный тест
- •М одуль 8. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Определение функции нескольких переменных
- •§ 2.Некоторые многомерные функции, используемые в экономике.
- •§ 3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§ 4. Экономический смысл частных производных
- •§ 5. Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Функция полезности
- •§ 8. Экстремум функции двух переменных
- •Контрольный тест
- •Краткий справочник
- •Простейшие формулы аналитической геометрии.
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Содержание
- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Издано в редакции авторов
- •220023, Г. Минск, пр. Независимости, 99, к. 2
Контрольный тест
1. Найдите производную функции :
а) ; б) ;
в) ; г) другой ответ.
2. Среди приведенных функций укажите те, производная которых равна :
а) ; б) ;
в) ; г) .
3. Найдите производную функции в точке :
а) 8; б) ; в) -8; г) другой ответ.
4. Найдите производную функции :
а) ; б) ; в) ; г) .
5. Найдите производную функции :
а) ; б) ;
в) ; г) другой ответ.
6. Найдите производную функции :
а) ; б) ; в) ; г) .
7. Функция :
a) убывает в интервале и возрастает в интервале ;
б) убывает в интервале и возрастает в интервале ;
в) убывает в интервале и возрастает в интервале ;
г) убывает в интервале , не возрастает.
8. Значение минимума функции :
a) ; б) ; в) ; г) имеет бесконечно много решений.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 7.1. Найдите производную функции в точке .
Ответ: .
Задача 7.2. Найдите производную функции .
Ответ: .
Задача 7.3. Найдите производную функции .
Ответ: .
Задача 7.4. Найдите производную функции .
Ответ: .
Задача 7.5. Найдите производную функции .
Ответ: .
Задача 7.3. Найдите производную функции .
Ответ: .
Задача 7.4. Найдите в точке производную функции и дифференциал функции в этой точке.
Задача 7.5. Найдите производную функции .
Задача 7.6. Найдите производную функции .
Задача 7.7. Найдите производную функции .
Задача 7.8. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .
Задача 7.9. Для производственной функции определите предельную эффективность ресурса при .
Задача 7.10. Для производственной функции найдите эластичность при .
Задача 7.11. Найдите темп роста объема выпуска для производственной функции при .
Задача 7.12. Найдите производную функции в точке .
Задача 7.13. Найдите дифференциал функции .
Задача 7.14. Найдите дифференциал функции в точке .
Задача 7.15. Для найдите вторую производную .
Задача 7.16. Точка движется прямолинейно по закону . В какой момент времени ускорение равно нулю?
Задача 7.17. Вычислите пределы, используя правило Лопиталя:
а) ; б) .
Задача 7.18. Найдите экстремумы функции .
Задача 7.19. Найдите экстремумы функции .
Задача 7.20. С помощью производной первого порядка найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции .
Задача 7.21. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Задача 7.22. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Задача 7.23. Предприятие выпускает некий товар в объёме, превосходящем 1 экземпляр. Издержки производства (в у.е.) зависят от объёма выпущенного товара и определяются формулой . Спрос (цена на товар) также зависит от объёма производства и определяется формулой . Найдите объём производства товара, при котором прибыль будет максимальной.
М одуль 8. Функции нескольких переменных
§ 1. Определение функции нескольких переменных
Функция, определенная на некотором множестве -мерного векторного пространства, называется функцией аргументов:
,
г де — координаты точки данного множества.
Переменная величина называется функцией двух переменных величин и на множестве , если каждой паре значений соответствует единственное значение величины .
С имволически функция двух переменных обозначается так: и т.д.
Переменные и называются независимыми переменными или аргументами функции, а множество — областью определения функции.
Н апример, — функция двух переменных.