§ 4. Транспонированная матрица

Т ранспонированием матрицы называется такое её преобразование, при котором строки этой матрицы становятся её столбцами с теми же номерами.

, .

Транспонированная матрица обозначается или .

С войства операции транспонирования:

1. ;

1. .

Е сли , т.е. , то матрица называется симметрической.

Пример1.11. Транспонируйте матрицу .

.

§ 5. Обратная матрица

М атрица называется обратной для квадратной матрицы , если где — единичная матрица.

Любой квадратной матрице можно поставить в соответствие определитель, который обозначается .

Н евырожденной называется матрица , если . Если матрица невырожденная, то существует единственная обратная ей матрица , причем,

,

где — присоединенная матрица, — алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Д ля составления матрицы следует заменить элементы матрицы соответствующими алгебраическими дополнениями и транспонировать полученную матрицу.

Свойства обратной матрицы:

1. .

1. .

2. 

Пример 1.12. Найдите матрицу, обратную к данной .

В ыполним следующие шаги:

1. Найдём : .

Так как , то матрица существует.

2. Найдём алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :

; ;

; .

3. Запишем матрицу :

.

4. Найдём матрицу :

.

Л егко проверить, что

§ 6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы

Р ассмотрим матрицу .

В ыделим в матрице строк и столбцов, где — число меньшее или равное наименьшему из чисел и .

Определителем, порожденным матрицей называется определитель порядка , составленный из элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов.

Н апример, пусть , . Тогда , — определители второго порядка, порожденные матрицей .

П усть . Тогда — определитель третьего порядка, порожденный данной матрицей.

Р ангом матрицы называется наибольший из порядков определителей, отличных от нуля, порожденных данной матрицей. Обозначается или .

Ясно, что если равны нулю все определители порядка , порожденные данной матрицей, то ранг матрицы меньше . Действительно, по определению, каждый из определителей -го порядка выражается линейно через определители -го порядка. Значит, все определители -го порядка равны нулю. Аналогично доказывается, что равны нулю все определители -го и более высоких порядков. Отсюда следует, что ранг матрицы меньше .

Теорема. Ранг матрицы не изменится, если:

а ) все строки заменить столбцами;

б) поменять местами две строки (два столбца);

в) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же множитель, отличный от нуля;

г ) прибавить к элементам одной строки (столбца) соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на один и тот же множитель.

П реобразования а) — г) называются элементарными.

Эквивалентными называются матрицы и , если одна из другой получаются с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц и обозначают следующим образом: ~ .

Пример 1.13. Определите ранг матрицы : .

П риведём матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ ~ ~ ,

, т.е. .

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

1 Понятие определителя первого, второго, третьего порядков.

2. Определитель n-го порядка.

3. Правила нахождения определителей второго, третьего, -го порядков.

4. Свойства определителей.

5. Понятие матрицы.

6. Виды матриц.

7. Операции сложения, умножения матрицы на число, умножения матриц.

8. Понятие транспонирования матрицы.

9. Понятие обратной матрицы и схема её нахождения.

10. Понятие ранга матрицы.