Модуль 5. Кривые второго порядка

§ 1. Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, удаленных от заданной точки этой же плоскости на одно и тоже расстояние . Точка называется центром, а — радиусом окружности.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид

, (1)

где — координаты её центра, — радиус окружности.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. , , то уравнение (1) примет вид:

(2)

Пример 5.1. Найдите координаты центра и радиус окружности .

Р азделив уравнение на 2, и сгруппировав члены уравнения, получим . Дополним выражения и до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4 , а ко второму (одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел):

.

П о формуле (1) имеем , , т.е. — координаты центра окружности; — радиус окружности.

§ 2.Эллипс

Э ллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и этой же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса:

, (3)

где — большая полуось, — малая полуось эллипса.

• Если , то:

  1. к оординаты фокусов: , , где — половина расстояния между фокусами (см. рис);

  2. числа , и связаны соотношением

; (4)

3. расстояние между фокусами равно ;

Ф орма эллипса характеризуется его эксцентриситетом.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния (расстояния между фокусами) к большой оси :

4. ( , т.к. ); (5)

Д иректрисами эллипса называются прямые и параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии, равном ;

5. и — уравнения директрис.

• Если , то уравнение (3) определяет окружность .

Пример 5.2. Дано уравнение эллипса . Найдите длины его полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса.

З апишем уравнение эллипса в виде (3), разделив обе его части на 1176:

.

Отсюда , .

Используя соотношение (4), находим и . Следовательно, и .

П о формуле (5) находим .

§ 3. Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы:

, (6)

где — действительная, — мнимая полуось гиперболы. Числа и — соответственно действительная и мнимая оси гиперболы. Для гиперболы (6):

1. к оординаты фокусов: , , где — половина расстояния между фокусами (см. рис);

2. числа , и связаны соотношением

; (7)

3. р асстояние между фокусами равно ;

4. точки и называются вершинами гиперболы , точка — центром гиперболы;

Эксцентриситетом гиперболы называется число:

5 ) ( , т.к. ). (8)

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой , а стороны равны и параллельны осям гиперболы, называется основным прямоугольником гиперболы.

Д иагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями

6) (9)

Д ве прямые и (см. рисунок), параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от неё на расстоянии, равном , называются директрисами гиперболы; они определяются уравнениями

7) . (10)

У равнение или (11)

т акже является уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси длины .

Гипербола, задаваемая уравнением (11), называется сопряжённой гиперболе (6)

Пример 5.3. Составьте уравнение гиперболы, если её фокусы лежат на оси и расстояние между ними равно 10, а длина мнимой оси равна 8.

П о условию, ; . Тогда по формуле (7) получим:

.

Тогда уравнение гиперболы:

.

Уравнения

, также задают гиперболу, координаты центра которой задаются точкой .