Контрольный тест

1. На каком рисунке изображён вектор :

a) ; б) ; в) ; г) .

2. Два вектора называются коллинеарными, если:

a) они лежат в одной плоскости; б) они лежат в параллельных плоскостях; в) они лежат на параллельных прямых; г) они не лежат на параллельных прямых.

3. Укажите координату вектора , изображённого на рисунке

a) 1; б) 2; в) ; г) -1.

4. Какая формула задаёт длину вектора :

a) ; б) ; в) ; г) .

5. Найдите длину диагонали четырёхугольника , если , , , :

a) ; б) ; в) ; г) .

6. Составьте вектор , если , .

a) ; б) ; в) ; г) .

7. Скалярным произведением векторов и называется:

a) число , где и — длины векторов; б) число , где и — длины векторов ; в) вектор ; г) число , где и — длины векторов, — угол между векторами.

8. Найдите скалярное произведение векторов и , если , .

a) -12; б) 20; в) -10; г) 18.

9. Какими являются векторы и , если , , , :

a) ортогональными; б) коллинеарными; в) компланарными; г) равными.

10. Какие среди векторов , , , ортогональны:

a) и ; б) и ; в) и ; г) и .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 3.1. Найдите координаты вектора , если , , .

Ответ: .

Задача 3.2. Фирма продаёт изделия по ценам, которые характеризуются вектором а объёмы продаж по регионам определяются вектором . Найдите прибыль фирмы, если издержки на реализацию составляют 1000 ден.ед.

Ответ: 9710.

Задача 3.3. Определите внутренний угол при вершине в треугольнике с вершинами , , .

Ответ: 90°.

М одуль 4.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§ 1. Прямая на плоскости.

Различные виды уравнения прямой.

Теорема. Каждая прямая на плоскости определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.

Пример 4.1. Постройте прямую, заданную уравнением .

Д ля построения прямой достаточно знать координаты двух её произвольных точек. Полагая в уравнении прямой, например, , получим . Имеем точку . Полагая , получим . Отсюда вторая точка . Результаты вычислений можно занести в таблицу:

	0	1
	-4	-2

О сталось построить точки и провести через них прямую (см. рисунок).

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором:

, (1)

г де — нормальный вектор прямой, — координаты данной точки.

З аметим, что — нормальный вектор прямой ( перпендикулярен прямой).

2 . Общее уравнение прямой:

, (2)

где — постоянные коэффициенты, причём и одновременно не обращаются в нуль .

Частные случаи этого уравнения:

— прямая проходит через начало координат;

— прямая параллельна оси ;

— прямая параллельна оси ;

— прямая совпадает с осью ;

— прямая совпадает с осью .