§ 4. Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.

К аноническое уравнение параболы:

, (12)

г де число , равное расстоянию от фокуса до директрисы , называется параметром параболы, точка называется вершиной параболы, ось — ось симметрии параболы, координаты фокуса .

У равнение директрисы параболы имеет вид .

Уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.

Уравнения

, (13)

также задают параболу, вершина которой задаются точкой .

П ример 5.4. Уравнение линии приведите к каноническому виду и постройте её: .

Преобразуем уравнение: . Выделим в правой части полный квадрат (выделение полного квадрата подробно рассматривалось в примере 5.1):

;

;

;

;

;

.

Получили уравнение параболы (см. (13)) с вершиной в точке (2;3); . Прямая является осью симметрии параболы. Координаты фокуса , , т.е. .

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

1. Понятие линии второго порядка.

2. Каноническое уравнение окружности.

3. Каноническое уравнение эллипса, характеристики эллипса.

4. Каноническое уравнение гиперболы, характеристики гиперболы.

5. Каноническое уравнение параболы, характеристики параболы.

6. Метод выделения полного квадрата.

Контрольный тест

1. Уравнением задается парабола, ветви которой направлены:

а) вверх; б) вниз; в) вправо; г) влево.

2. Каноническое уравнение гиперболы с мнимой полуосью 3 имеет вид:

а) ; б) ; в) ;

г) .

3. Уравнение задает:

а) эллипс; б) гиперболу; в) окружность; г) параболу.

4. Уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси OY, имеет вид:

а) ; б) ;

в) ; г) .

5. Уравнение гиперболы, не пересекающей ось OY, имеет вид:

а) ; б) ; в) ;

г) .

6. Уравнение определяет:

а) эллипс с полуосями 49 и 16; б) параболу с центром (-4; -2);

в) гиперболу с полуосями 7 и 4; г) эллипс с центром (4; 2).

7. Для любой точки гиперболы постоянной величиной является:

а) модуль разности расстояний до фокусов;

б) сумма расстояний до фокусов;

в) частное расстояний до фокусов; г) расстояние до её центра.

8. Уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, имеет вид:

а) ; б) ;

в) ; г) .

9. Радиус окружности, заданной уравнением , равен:

а) 5; б) ; в) 2; г) 25.

10. Уравнением задается:

а) гипербола с полуосями ; и центром (5; -2);

б) парабола с вершиной (-5; 2);

в) гипербола с полуосями ; и центром (-5; 2);

г) эллипс с центром (5; -2).

11. Выберите линию, которая задается уравнением

а) ; б) ;

в) ; г) .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 5.1. Определите тип и расположение на плоскости линии, заданной уравнением и схематически постройте её.

Ответ: — эллипс.

Задача 5.2. Определите тип и расположение на плоскости линии, заданной уравнением и схематически постройте её.

Ответ: — гипербола.

Задача 5.3. Определите тип и расположение на плоскости линии, заданной уравнением и схематически постройте её.

Ответ: — парабола.

Задача 5.3. Исследуйте график кривой и постройте её.