- •Isbn 978-985-519-056-2 © бгату, 2009 Предисловие
- •Учебная программа по учебной дисциплине
- •Модуль 4 Аналитическая геометрия
- •Модуль 8 Функции нескольких переменных
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •М одуль 1. Линейная алгебра
- •§ 1. Определители
- •С войства определителей.
- •§ 2. Матрицы
- •§ 3. Основные операции над матрицами
- •§ 4. Транспонированная матрица
- •§ 5. Обратная матрица
- •§ 6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
- •Контрольный тест
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 1. Теорема Кронекера-Капелли
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений
- •Контрольный тест
- •Модуль 3. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Операции над ними.
- •Сложение векторов.
- •Произведение вектора на число.
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Длина вектора.
- •§ 3. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Контрольный тест
- •М одуль 4.
- •§ 1. Прямая на плоскости.
- •3 . Уравнение прямой в отрезках:
- •6 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:
- •§ 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •§ 3. Прямые в решениях экономических задач.
- •Контрольный тест
- •Модуль 5. Кривые второго порядка
- •§ 1. Окружность
- •§ 2.Эллипс
- •§ 3. Гипербола
- •§ 4. Парабола
- •Контрольный тест
- •М одуль 6. ФункциЯ одной переменной. Непрерывность функции одной переменной.
- •§ 1. Определение функции и способы её задания.
- •§ 2. Использование элементарных функций в экономике
- •§ 3. Предел числовой последовательности. Предел функции.
- •Односторонние пределы
- •§ 4. Теоремы о пределах.
- •З амечательные пределы
- •§ 3. Непрерывность функции.
- •Контрольный тест
- •§ 1. Производная функции,
- •§ 2. Таблица производных.
- •§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •§ 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.
- •§ 5. Признаки возрастания и убывания функций. Интервалы монотонности функций.
- •§ 6. Экстремум функции. Необходимый признак.
- •§ 7. Достаточные признаки экстремума функции.
- •§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •§ 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§ 10. Асимптоты графика функции.
- •§ 11. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Контрольный тест
- •М одуль 8. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Определение функции нескольких переменных
- •§ 2.Некоторые многомерные функции, используемые в экономике.
- •§ 3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§ 4. Экономический смысл частных производных
- •§ 5. Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Функция полезности
- •§ 8. Экстремум функции двух переменных
- •Контрольный тест
- •Краткий справочник
- •Простейшие формулы аналитической геометрии.
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Содержание
- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Издано в редакции авторов
- •220023, Г. Минск, пр. Независимости, 99, к. 2
Рекомендуемая литература Основная литература
Пискунов Н.С. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. 1985. Т.1.
Пискунов Н.С. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. 1985. Т.2.
Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. Мн.: Высш. шк. 1985-1987, ч.2, ч.3.
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и её приложения в экономическом образовании. М.: «Дело», 2001.
Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Индивидуальные домашние задания по высшей математике. Мн.: Высш. шк. 2000, ч.1 и ч.2.
Гусак А.Н. Высшая математика. Мн.: Тетра Системс 2000, ч.1 и ч.2.
Малыхин В.И. Математика в экономике. М.: ИНФРА-М, 2001.
Дополнительная литература
Высшая математика. Общий курс. Под общей редакцией С.А. Самаля. М.: Высшая школа, - 2000.
Лихолетов И.И., Мицкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. Мн.: Вышэйшая школа, - 1976.
М одуль 1. Линейная алгебра
§ 1. Определители
О пределителем второго порядка называется величина, которая записывается в виде квадратной таблицы и задаётся равенством:
,
где — элементы определителя; индекс обозначает номер строки, а индекс — номер столбца, в котором находится элемент .
Пример 1.1.
Вычислите определитель второго порядка .
.
М инором элемента определителя называется определитель, обозначаемый символом , который получается из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .
А лгебраическим дополнением элемента определителя, обозначаемым , называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент чётная, и со знаком минус в противном случае, т.е.
.
Пример 1.2.
А ) Найдите минор и алгебраическое дополнение элемента определителя .
Э лемент . Вычеркнем вторую строку и третий столбец: .
Тогда минор . Алгебраическое дополнение .
Б) Вычислите минор и алгебраическое дополнение элемента определителя .
Э лемент . Вычеркнем вторую строку и первый столбец: .
Т огда минор . Алгебраическое дополнение .
В примере 1.2 был найден определитель первого порядка.
О пределителем первого порядка называется величина, которая записывается в виде и которая равна значению .
Определителем третьего порядка называется величина, которая записывается в виде квадратной таблицы и задаётся равенством («разложение по элементам первой строки»):
т.е.
.
Замечание. В дальнейшем мы будем встречаться с кратким обозначением суммы:
Пример 1.3.
Вычислите определитель третьего порядка .
.
О пределителем n-го порядка называется величина, которая записывается в виде квадратной таблицы и задаётся равенством («разложение по элементам некоторой строки или столбца»): определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
|
|
|
разложение |
— |
по элементам |
||
|
-той строки |
|
|
|
разложение |
— |
по элементам |
||
|
-го столбца |
Пример 1.4.
Вычислите определитель четвёртого порядка наиболее удобным способом:
.
Р азложим определитель по 4-ой строке:
.