М одуль 6. ФункциЯ одной переменной. Непрерывность функции одной переменной.

§ 1. Определение функции и способы её задания.

Е сли каждому числу из некоторого множества соответствует одно и только одно число , то говорят, что на множестве задана функция.

Переменная при этом называется независимой переменной (или аргументом), а переменная — зависимой.

С пособ (правило), с помощью которого устанавливается соответствие, определяющее данную функцию, обозначают той или иной буквой: . Т.е. то обстоятельство, что есть функция аргумента , кратко выражают записью: или и т.п.

Множество называется областью определения функции и обозначается , а множество всех чисел , соответствующих различным числам — областью значений этой функции и обозначается .

Эти области могут представлять собою отдельные точки числовой прямой, отрезки, интервалы этой прямой, множество всех действительных чисел.

Р азличают следующие способы задания функции : табличный, графический, аналитический (с помощью формул).

П усть заданы прямоугольная система координат и функция .

Графиком функции называют множество всех точек плоскости с координатами , где .

Для функции, заданной аналитически, т.е. уравнением , под графиком понимают множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению .

График функции есть некоторая линия на плоскости. Например, уравнение задаёт функцию, графиком которой является парабола.

Функция, заданная аналитически уравнением , определена в точке , если возможно вычислить . Множество таких точек образует область определения функции.

Пример 6.1. Найдите область определения функции:

а) ; б) ; в) .

а ) Дробь определена, если её знаменатель не равен нулю. Область определения данной функции можно найти из условия . Таким образом, .

б ) Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. . Значит, .

в) Логарифм определён, когда

.

Значит, .

О сновными (или простейшими) элементарными функциями называются:

постоянная функция	;
степенная функция	, ;
показательная функция	, ;
логарифмическая функция	, , ;
тригонометрические функции	; ; ; ;
обратные тригонометрические функции	; ; ; .

Ф ункция, аргумент которой в свою очередь есть функция ( , где ), называется сложной функцией (или композицией функций).

Пример 6.2. Функция — простейшая,

— сложная

( , ).

Пример 6.3. Функция сложная, которая может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций: , , .

Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций ( ) и композиций (т.е. образования сложных функций). Все остальные функции называются неэлементарными.

Пример 6.4. Примером неэлементарной функции может служить функция вида:

Формула определяет явный способ задания функции. Однако во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции.

Неявной называют функцию, которая задана уравнением вида , неразрешенным относительно функции .

Пример 6.5. Уравнение задает неявно функцию .

Пусть для любых различных значений справедливо, что . Тогда для любого найдётся только одно значение , такое, что .

Функция , определённая на , называется обратной для функции .

Пример 6.6. Найдите обратную функцию для данной:

а) ; б) ; в) .

а ) Для функции обратной функцией является функция , или в стандартной форме .

б) Разрешим уравнение относительно : . Обратной функцией является функция .

в ) Для функции обратной функцией является функция , или в стандартной форме .

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.