F*(X) – статистическая функция распределения; f(X) – функция распределения

Вычислим высоты прямоугольников гистограммы: 0.1/2=0.05, 0.32/2=0.16, 0.1,0.12, 0.07. На рисунке 6 приведены гистограмма относительной частоты и приближённый график плотности.

2. Основные понятия проверки статистических гипотез

Во многих практических задачах реализации выборки применяются для проверки гипотез (предположений) о свойствах закона распределения генеральной совокупности.

Статистической гипотезой называется предположение о параметрах, свойствах закона распределения генеральной совокупности.

Пример 2. «Математическое ожидание г.с., распределённой по показательному закону, равно 10», «Г.с. имеет нормальный закон распределения» – статистические гипотезы. «Завтра будет снег», «Существуют внеземные цивилизации» – не являются статистическими гипотезами.

В дальнейшем под гипотезой будем понимать исключительно статистические гипотезы. Гипотеза называется простой, если она однозначно определяет закон распределения г.с. В противном случае гипотеза называется сложной. В приведённых выше гипотезах первая – простая, потому что гипотеза определяет точно один показательный закон распределения с параметром  = 1/10. Вторая гипотеза является сложной, потому что она определяет бесконечно много нормальных законов распределения с разными математическими ожиданиями и дисперсиями.

Параметрическими гипотезами называются гипотезы о параметрах распределения г.с. Например, первая из вышеприведённых гипотез является параметрической.

Нулевой (или основной) гипотезой H₀ называется проверяемая ги-потеза. Альтернативной (или конкурирующей) гипотезой называется гипотеза, которая принимается в случае, когда основная гипотеза отвергается. Альтернативных гипотез у одной и той же основной гипотезы может быть несколько. Например, если принять за основную гипотезу «Математическое ожидание г.с. равно 10», то в качестве альтернативной могут быть: «Математическое ожидание г.с. меньше 10”, «Математическое ожидание г.с. равно 9».

При проверке гипотез применяется некоторое правило. Критерием K проверки гипотез называется правило, по которому принимается или отвергается гипотеза H₀. Обычно в критерии участвует некоторая статистика Z=Z(X₁,…, X_n), по значению которой решается вопрос, принять или отвергнуть основную гипотезу. Z называется статистикой критерия.

Общая схема критерия K выглядит следующим образом. Задаётся некоторая малая вероятность  (обычно  = 0.1, 0.05, 0.01), называемая уровнем значимости критерия. В основе критерия лежит принцип теории вероятностей: маловероятные события (события с вероятностью  ) считать практически невозможными. Из области значений V статистики Z критерия выделяется подмножество V_k, такое, что условная вероятность события Z V_k при условии, что гипотеза H₀ верна, мала (равна  ): P (Z V _k / H₀ ) = . Множество V_k называется критической областью. Пусть теперь по реализации выборки вычислено значение z_в статистики критерия Z. Если z_в V_k , то это означает, что произошло маловероятное событие. Тогда по приведённому выше принципу скорее всего неверна гипотеза H_{0 ,} и она должна быть отвергнута. Если z_в V \ V_k, то гипотеза H₀ может быть принята. Множество V \ V_k называется областью принятия основной гипотезы.

Рассмотрим критерий проверки параметрической гипотезы H₀ :  =  ₀ при альтернативной гипотезе H₁ :  < ₀. Пусть p (z / H₀ ) – плотность условного закона распределения статистики Z. За область принятия основной гипотезы принимается такой промежуток [z₁, +), что P (Z  z₁/H₀ ) = 1– , P (Z < z₁/H₀ ) =  (рис. 7). Из второго равенства видно, что z₁= z_ – квантиль распределения статистики Z порядка .

Рис. 7. Критическая область (V_k)

и область принятия

гипотезы (V\V_k)

Таким образом, критической областью является промежуток (–, z_), а областью принятия основной гипотезы – промежуток [z_ , +).

Критерий состоит в следующем. По реализации выборки из г.с. вычисляем значение z_в статистики критерия Z. Вычисляется (по таблице) квантиль z_. Если z_в  z_, то основная гипотеза  = ₀ принимается. Если z_в< z_ , то основная гипотеза  =₀ отвергается (принимается альтернативная гипотеза  < ₀).

Как видно, основная или альтернативная гипотезы принимаются или отвергаются с некоторой вероятностью. Это означает, что возможны ошибки при принятии того или иного решения. В теории проверки статистических гипотез различают ошибки первого и второго рода.

Ошибкой первого рода называется вероятность отвергнуть правильную основную гипотезу, т.е. P (ZV_k / H₀ ) = . Таким образом, уровень значимости совпадает с ошибкой первого рода.

Ошибкой второго рода называется вероятность принять ошибочную основную гипотезу, т.е. P (ZV\V_k / H₁ )=.