- •Математика
- •Режим доступа к электронному аналогу печатного издания: http://www.Libdb.Sssu.Ru
- •Содержание
- •Предисловие
- •Лабораторная работа 1
- •Варианты заданий
- •Пример выполнения лабораторной работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 2 Исследование дискретной и непрерывной случайных величин
- •Пример выполнения задания 1
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 3 Линейная регрессия
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 4
- •Рассмотрим три закона распределения, которые часто используются в теории вероятностей.
- •1. Распределение (читается «хи в квадрате»). Пусть n(0, 1), – независимые нормально распределённые с.В. С.В. Называетсяраспределённой по закону со степенью свободыk.
- •2. Распределение Стьюдента т(k). С.В. , гдеU n(0, 1), называется распределённой по закону Стьюдента со степенью свободы k.
- •3. С.В. , где k1, k2 – натуральные числа, называется распределённой по закону Фишера со степенями свободы k1, k2.
- •1 Доверительный интервал для м.О. Нормально распределённой с.В.
- •2 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределённой г.С.
- •Проверка статистических гипотез
- •1. Предварительная обработка реализации выборки
- •F*(X) – статистическая функция распределения; f(X) – функция распределения
- •2. Основные понятия проверки статистических гипотез
- •3. Критерий согласия
- •Лабораторная работа 5
- •Обработка результатов экспериментов, определение точечных оценок числовых характеристик и параметров распределения.
- •Проверка гипотезы о законе распределения
- •Генеральной совокупности по критерию согласия
- •Контрольные вопросы к лабораторным работам 4 и 5
- •Библиографический список
- •Приложение 5 (справочное) Критические точки распределения Стьюдента
- •Приложение 6
- •Учебное издание
Лабораторная работа 1
Схема Бернулли
Цель работы: научиться пользоваться формулами Бернулли, Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра – Лапласа, по условию задачи правильно выбирать и применять для решения нужную формулу.
Краткий теоретический материал. Схема Бернулли состоит в следующем: проводится n независимых испытаний, в каждом испытании вероятность появления некоторого события A одна и та же и равна p. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит ровно m раз, определяется по формуле Бернулли:
где ,.
При больших значениях n вычисление вероятности по формуле Бернулли превращается в технически сложную задачу. Поэтому применяют формулы, дающие приближенное значение такой вероятности.
Локальная теорема Муавра – Лапласа. Если в схеме Бернулли вероятность успеха равна , то при большихn
где
Функция – чётная, т.е.для всех. Значения функцииприведены в таблице приложения 1.
Замечание: теоремой Муавра – Лапласа рекомендуется пользоваться, когда . В случае, когда, более точное приближение даёт формула Пуассона:
где
Значения функции приведены в таблице приложения 3.
Если требуется найти вероятность того, что событие A наступит не менее и не болеераз, то при большихn и при можно воспользоватьсяинтегральной теоремой Муавра – Лапласа:
, где ,
, .
Функция нечётная, её значения приведены в таблице приложения 2. Также для этой цели можно использовать формулу Пуассона:.
Задание. Решить задачи 1, 2, 3, применяя формулы Бернулли, Пуассона, локальную и интегральную теоремы Муавра – Лапласа. Расчёты вероятности в каждой задаче провести с использованием пакета прикладных программ Maple. Сравнить результаты, сделать выводы.
Варианты заданий
Задача 1 (номер варианта).
Варианты 1–5. Вероятность того, что деталь при проверке окажется бракованной, равна 0,05. Найти вероятности того, что среди проверенных десяти деталей:
а) ровно окажутся бракованными;
б) не более окажутся бракованными;
в) не менее окажутся бракованными.
Варианты 6 – 10. Вероятность попадания при каждом из 12 выстрелов равна 0,75. Найти вероятности того, что мишень будет поражена:
а) ровно раз;
б) не более раз;
в) не менее раза.
Варианты 11–15. Вероятность того, что лотерейный билет будет выигрышным, считается постоянной и равной 0,02. Найти вероятности того, что среди 9 купленных билетов:
а) ровно окажутся выигрышными;
б) не более окажутся выигрышными;
в) не менее окажутся выигрышными.
Варианты 16–20. Найти вероятности того, что при 11 бросаниях игральной кости шестёрка выпадет:
а) ровно раз;
б) не более раз;
в) не менее раз.
Варианты 21–25. Вероятность того, что зашедший в магазин человек сделает покупку, равна 0,42. Найти вероятность того, что из 15 человек покупку сделают:
а) ровно человек;
б) не более человек;
в) не менее человек.
Задача 2 (номер варианта). При перевозке стеклотары вероятность боя одной бутылки равна 0,002. Найти вероятности того, что при перевозкебутылок будет разбито:
а) ровно 3 бутылки;
б) не более 3 бутылок;
в) не менее 3 и не более бутылок.
Задача 3 (номер варианта). Вероятность всхода семян данного растения равна 0,85. Найти вероятности того, что при посадкесемян взойдёт:
а) ровно растений;
б) не менее 400 растений;
в) не менее 420 и не более растений.