Лабораторная работа 5

Обработка результатов экспериментов, определение точечных оценок числовых характеристик и параметров распределения.

Проверка гипотезы о законе распределения

Генеральной совокупности по критерию согласия

Цель работы: выработать практические навыки элементарной статистической обработки результатов экспериментов. Научиться поль-зоваться критерием согласия Пирсона для проверки гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.

Задание. Для изучения некоторой случайной величины из генеральной совокупности была извлечена выборка объёма n = 80 (см. данные своего варианта).

1. Определить число отрезков разбиения, построить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

2. Выдвинуть гипотезу о виде распределения. Найти состоятельные несмещённые оценки математического ожидания и дисперсии, оценки среднеквадратического отклонения, оценки параметров распределения.

3. Проверить выдвинутую гипотезу по критерию Пирсона на уровне значимости α =0,01.

4. На одном рисунке начертить гистограмму относительных частот и график плотности гипотетического распределения.

5. Построить график функции гипотетического распределения.

Варианты заданий

Вариант 1

59.49 44.71 51.50 37.23 40.32 49.31 27.52 45.73 40.97 49.26

62.47 44.35 50.89 55.05 44.90 67.64 51.06 44.25 45.68 56.50

51.64 51.13 56.53 34.69 59.04 48.13 36.27 42.86 45.09 47.30

36.44 53.07 44.85 45.05 49.97 62.43 34.29 37.52 34.40 41.45

48.60 66.47 38.80 49.02 58.96 52.63 49.23 54.76 64.32 39.98

45.32 45.54 53.35 44.08 41.45 63.07 53.35 36.52 52.49 54.88

46.71 41.44 46.70 46.53 48.91 45.91 48.24 60.20 49.00 60.78

38.50 61.58 54.53 60.94 41.62 33.84 44.05 33.88 64.14 37.44

Вариант 2

20.58 20.75 17.88 20.66 17.62 16.56 16.82 19.75 17.13 20.62

16.65 17.22 20.49 17.08 21.18 22.42 20.54 17.30 21.02 17.34

18.58 19.10 21.89 19.41 18.03 22.21 20.35 17.42 21.63 20.58

22.27 21.74 21.93 19.79 17.00 16.90 20.23 17.84 18.14 18.96

20.45 21.82 17.90 20.13 16.92 18.43 20.17 20.68 21.23 19.90

22.41 21.36 20.40 17.84 16.85 21.81 17.75 21.68 17.30 21.88

21.45 21.94 21.61 19.05 22.18 18.60 21.72 16.65 17.66 19.79

19.85 18.48 18.04 20.56 18.45 20.92 19.62 21.51 18.73 18.44

Вариант 3

0.75 8.16 1.36 2.23 0.79 1.92 1.48 0.47 3.97 0.15

0.99 0.41 0.32 5.74 0.80 0.31 2.43 2.92 4.20 1.16

1.61 1.09 4.82 2.62 0.40 0.30 6.35 4.05 2.16 0.47

0.10 2.94 0.52 2.43 6.68 0.93 0.29 0.37 5.67 0.62

Окончание варианта 3

1.42 2.93 0.98 1.51 0.15 0.74 3.86 5.79 1.24 0.44

0.86 4.88 1.38 3.37 1.54 13.12 0.13 0.85 2.00 2.29

0.56 0.87 0.15 0.75 2.52 3.36 0.96 3.06 2.37 6.85

1.61 4.60 0.49 1.07 3.68 0.19 2.24 2.26 4.09 4.52

Вариант 4

29.59 41.56 15.58 20.88 35.92 33.87 26.35 23.78 27.54 34.38

27.37 28.57 28.40 42.76 34.04 30.45 29.42 32.16 29.76 21.22

36.26 46.18 27.71 37.80 28.06 33.01 42.07 23.27 31.30 34.72

23.27 35.75 26.52 32.33 22.59 19.85 23.27 40.53 48.40 35.06

19.85 34.21 37.97 33.01 25.83 32.67 38.48 20.88 42.24 39.85

29.76 40.19 33.53 46.52 33.53 51.65 33.70 26.69 37.80 48.91

22.07 34.21 39.51 48.74 21.90 49.76 17.29 16.60 27.03 27.20

47.20 38.31 18.65 18.31 45.66 35.75 31.82 23.10 19.51 28.06

Вариант 5

19.10 27.96 8.93 44.36 25.63 19.95 5.35 6.82 9.85 20.91

21.24 45.21 23.83 36.70 35.18 38.26 39.93 23.85 23.41 47.41

14.29 7.20 45.97 12.51 34.97 35.19 5.99 15.12 27.35 40.19

10.66 14.59 8.76 5.71 36.33 40.26 35.99 25.36 42.86 37.96

14.65 34.17 24.82 41.56 5.99 20.49 48.01 9.70 42.08 41.85

28.64 11.15 8.90 34.71 12.57 16.38 38.83 36.32 30.71 29.35

29.48 35.01 10.96 40.59 47.76 9.78 9.90 42.13 11.81 48.90

10.96 12.81 20.37 42.65 31.21 26.20 16.84 36.41 17.73 27.81

Вариант 6

12.37 16.64 6.85 44.26 4.37 5.64 8.55 5.88 36.01 4.28

4.35 0.54 8.89 19.00 4.30 8.54 8.39 4.83 3.18 0.51

14.96 1.38 9.94 12.78 3.18 31.18 39.60 18.80 17.80 21.13

8.18 15.64 7.00 9.19 3.94 1.82 33.20 1.15 3.55 17.79

5.80 6.57 0.85 14.22 5.46 13.89 11.03 18.11 12.19 27.9

44.60 1.19 5.57 20.87 23.52 4.97 1.95 4.98 5.54 2.56

18.80 4.81 30.51 11.35 4.46 7.19 1.06 14.86 10.41 4.72

1.07 9.33 7.33 10.91 23.71 2.37 2.07 40.38 19.48 16.56

Вариант 7

43.33 44.87 48.13 39.96 43.71 41.02 47.27 33.42 49.19 40.83

49.58 41.79 39.29 40.54 46.88 41.21 41.40 41.60 43.04 41.12

38.52 53.23 43.90 47.65 42.94 38.81 49.38 43.04 36.69 46.69

48.90 46.69 38.13 49.96 48.04 38.71 48.23 44.10 43.23 45.63

Окончание варианта 7

39.58 49.87 46.40 46.69 41.60 48.33 36.98 51.79 47.46 38.23

40.25 42.94 37.65 39.48 50.44 39.67 39.96 43.81 41.02 39.58

49.87 39.87 40.15 39.10 29.96 47.27 46.12 37.08 40.35 43.52

39.48 35.83 48.90 43.52 43.13 41.21 39.48 43.33 48.42 46.50

Вариант 8

8.35 8.07 9.33 9.93 8.88 8.26 8.81 8.59 9.18 9.63

8.12 9.77 8.15 8.05 8.54 9.90 8.59 8.90 8.77 8.71

9.31 9.34 8.60 9.33 8.64 8.40 9.76 9.42 9.27 8.45

8.97 9.04 9.68 8.71 9.65 9.19 8.76 8.18 9.96 9.41

9.15 8.60 8.41 9.40 8.79 9.80 9.40 9.26 9.96 8.93

8.97 9.38 8.02 8.32 8.31 8.57 8.05 9.33 9.51 8.96

8.40 9.80 9.60 8.93 8.78 8.65 8.33 9.40 9.48 9.01

9.71 8.95 8.29 8.94 8.07 8.82 9.77 9.45 9.47 8.82

Вариант 9

2.94 8.82 4.54 4.45 0.24 9.59 3.12 5.73 0.82 18.07

0.94 1.04 3.68 0.28 0.99 2.40 1.91 5.41 3.62 2.26

2.79 18.16 8.91 8.83 10.05 0.36 5.78 12.87 5.19 2.72

1.58 0.59 2.63 8.86 1.29 0.28 16.93 5.37 27.91 5.26

0.59 3.93 1.96 0.74 0.10 1.41 1.39 2.86 2.54 17.97

0.60 4.90 7.89 4.08 3.28 0.09 3.51 2.92 1.90 2.63

2.25 23.70 6.46 6.57 1.43 3.82 3.01 8.88 6.71 14.32

1.14 1.69 1.57 1.65 1.71 0.37 0.23 7.80 3.76 9.17

Вариант 10

50.84 53.77 52.60 49.52 44.83 44.17 50.33 55.16 49.52 43.22

55.38 50.03 50.11 53.11 53.70 51.06 57.07 56.99 44.91 49.60

54.36 45.35 55.46 47.76 47.54 48.35 52.75 52.45 49.82 48.57

49.60 50.77 51.35 50.25 50.77 46.59 42.42 54.43 49.30 51.94

51.13 48.94 45.86 48.13 49.08 46.88 46.23 46.52 53.84 55.02

54.36 51.94 49.96 52.31 52.09 46.74 47.98 45.49 50.55 46.37

49.08 50.77 53.11 51.57 52.09 52.89 47.18 52.16 45.49 50.03

44.10 52.60 59.34 43.51 59.05 54.36 54.21 46.96 54.21 57.21

Вариант 11

39.02 30.67 41.19 19.48 42.66 16.06 22.30 39.78 33.10 44.59

24.39 36.46 44.16 16.30 21.41 20.77 12.00 19.24 29.93 24.67

39.89 37.85 26.06 36.88 38.01 20.48 31.73 20.61 40.34 14.32

32.84 38.45 21.26 17.58 35.91 21.67 32.28 35.48 30.35 29.68

12.89 42.58 20.92 25.67 18.62 13.24 33.78 36.50 41.24 29.77

Продолжение варианта 11

16.51 13.49 21.86 31.96 20.55 17.46 44.61 25.32 26.44 26.60

26.17 15.03 12.07 39.65 32.49 18.43 43.26 20.62 12.15 17.57

41.16 14.23 31.45 18.51 36.25 27.23 23.46 29.55 39.48 15.26

Вариант 12

3.36 5.72 0.61 17.42 4.26 2.37 6.52 2.21 4.13 5.42

5.08 0.64 3.62 0.04 7.79 1.99 11.24 9.92 4.01 12.68

3.02 12.58 2.43 10.88 3.76 0.39 3.32 0.79 0.86 7.47

7.94 3.80 14.81 1.42 9.78 0.16 1.78 1.67 2.28 4.48

2.39 1.76 4.85 0.35 0.63 0.01 8.17 6.92 1.13 0.47

3.71 15.15 5.52 3.80 1.33 2.77 2.64 3.22 0.45 1.64

5.57 8.31 10.88 1.96 3.04 3.59 0.42 4.02 2.72 7.36

0.07 12.95 3.41 5.03 11.55 0.56 5.55 13.96 0.96 3.86

Вариант 13

53.17 50.35 48.56 54.28 51.89 50.86 53.85 50.61 47.19 54.71

53.85 54.54 54.20 62.57 53.60 52.06 51.12 55.99 56.33 50.95

54.45 63.00 59.92 52.15 60.78 49.41 53.00 52.49 49.41 55.05

60.18 56.50 43.94 47.87 52.66 54.20 51.03 53.43 44.88 59.32

54.54 48.47 49.24 46.08 58.13 51.89 43.17 51.55 64.37 56.08

50.18 56.93 55.56 57.79 54.88 51.21 49.92 55.91 51.97 49.24

52.40 43.26 42.74 44.79 62.06 57.44 61.12 55.48 46.68 54.62

53.26 49.84 45.05 51.03 53.34 49.67 49.07 52.83 58.13 50.86

Вариант 14

31.13 21.77 23.16 35.45 55.91 19.26 35.02 61.93 37.42 41.60

37.63 42.16 53.98 49.35 37.83 32.16 48.60 24.92 53.01 52.32

14.86 52.40 34.49 29.86 49.83 45.84 20.62 37.34 49.11 38.12

27.60 41.49 36.03 42.23 53.97 16.34 54.85 51.86 42.84 30.11

60.02 59.78 62.97 20.12 57.41 21.20 62.28 23.63 15.95 48.07

39.26 63.20 39.80 42.31 35.34 63.88 52.99 57.21 17.50 21.05

47.96 29.16 39.17 25.05 14.49 24.92 48.57 32.40 37.59 18.43

55.15 52.84 27.79 14.07 27.26 28.12 56.51 37.41 23.32 24.77

Вариант 15

3.01 1.11 6.17 4.04 5.67 0.31 10.02 3.76 0.93 6.64

1.40 2.92 6.28 0.13 4.82 6.44 1.99 2.42 12.59 3.00

5.03 0.20 0.21 2.14 2.76 2.21 6.87 12.97 1.30 5.21

6.89 2.13 23.33 0.55 3.56 5.06 4.17 2.31 9.41 4.21

13.62 4.41 4.53 5.52 0.29 8.05 2.07 5.11 11.49 2.22

1.52 0.96 0.07 0.00 5.61 1.44 3.41 8.51 2.20 1.41

2.05 7.87 9.15 33.45 26.29 24.93 14.91 14.90 1.76 0.09

1.03 6.20 0.26 1.58 0.65 7.80 9.49 3.93 0.05 0.92

Вариант 16

42.92 46.72 44.64 45.19 41.29 48.81 39.12 42.20 49.26 51.43

57.22 48.99 39.30 40.75 44.10 49.44 48.35 47.09 38.22 49.17

42.29 47.18 49.17 51.52 44.01 49.98 37.58 48.53 43.38 49.80

40.48 42.02 55.23 44.91 46.72 42.20 47.63 45.46 40.66 46.27

44.19 44.64 48.53 48.71 49.44 49.71 48.53 45.73 43.56 47.81

39.67 42.83 49.35 53.06 52.15 51.97 41.20 43.29 38.85 46.27

45.00 44.19 46.36 49.35 55.14 48.53 53.51 47.63 48.99 40.03

39.76 43.65 52.33 42.83 46.00 40.75 44.64 44.01 47.09 46.81

Вариант 17

18.94 22.90 21.80 20.95 21.27 20.89 18.84 19.43 20.83 20.61

22.02 22.64 20.38 18.74 19.70 18.55 19.26 22.42 22.86 17.99

20.07 22.81 19.57 17.73 18.74 22.92 21.21 22.42 18.34 20.43

19.23 20.39 18.43 19.80 21.80 17.80 17.92 22.89 18.07 21.46

18.89 22.74 20.18 17.28 18.70 21.35 17.41 18.11 21.47 21.87

19.03 18.85 18.01 19.02 22.44 19.35 17.89 18.68 18.53 21.14

22.40 22.15 18.67 17.13 20.99 19.73 19.05 19.30 17.27 18.90

17.66 21.55 17.57 17.17 17.48 20.73 19.58 17.77 20.31 18.90

Вариант 18

5.64 6.27 0.36 0.11 0.07 1.67 7.66 10.03 3.82 1.63

4.83 8.28 17.19 5.43 0.38 6.60 0.80 0.72 2.12 0.70

0.28 0.23 7.16 5.13 3.49 0.53 4.27 4.27 0.84 7.02

0.40 12.36 3.35 0.89 0.58 8.08 0.53 1.28 6.88 4.15

0.16 9.92 0.16 5.57 4.53 0.15 1.56 0.02 0.16 0.10

0.70 0.80 2.47 4.61 2.45 3.60 2.09 0.57 1.97 0.23

2.61 1.00 4.09 4.37 0.76 1.73 3.58 4.77 1.80 1.16

3.36 1.72 1.35 4.99 0.24 1.35 0.26 1.42 0.01 4.02

Вариант 19

42.38 54.31 59.12 43.54 41.04 43.73 51.42 40.65 59.31 56.23

56.62 50.65 36.23 51.62 54.12 33.54 42.19 39.50 36.62 43.35

60.27 62.38 63.73 44.12 47.19 51.62 49.12 33.73 48.54 55.27

59.88 50.46 50.08 31.04 37.00 64.31 55.85 61.42 62.38 52.00

41.23 64.12 40.27 46.62 49.88 52.77 49.31 39.12 54.50 63.73

59.88 50.46 46.62 49.69 43.73 34.69 49.50 49.50 71.04 61.62

55.85 59.31 40.65 35.08 46.81 68.92 36.23 65.27 41.62 48.54

42.38 40.08 40.65 44.50 51.62 37.58 32.96 57.19 43.35 55.65

Вариант 20

74.76 67.59 34.98 28.64 72.73 52.53 55.70 31.43 50.44 37.40

40.52 58.53 44.70 38.51 53.21 49.43 29.03 29.89 47.50 71.11

20.76 31.87 54.71 58.33 33.73 32.45 68.85 76.09 57.78 61.84

21.65 51.77 25.72 50.99 46.68 71.28 36.91 62.92 20.43 34.68

22.80 56.38 65.31 77.37 35.59 70.70 73.41 77.88 39.03 54.03

56.09 54.40 68.43 21.89 72.87 36.57 39.98 56.84 35.27 61.65

66.70 34.65 65.85 31.59 29.04 53.53 31.06 32.23 70.33 35.02

51.16 49.33 36.41 66.17 74.09 55.24 29.52 57.86 39.72 23.15

Вариант 21

53.27 34.70 37.77 5.10 33.77 5.64 6.05 11.26 11.48 47.20

58.03 6.00 63.98 2.39 15.29 14.38 6.95 16.72 8.82 5.67

16.26 13.09 56.84 15.35 5.78 28.74 48.66 5.23 7.49 0.87

10.47 3.36 13.10 12.47 3.95 0.23 3.29 35.14 14.15 10.99

6.28 1.08 37.02 36.74 36.36 40.33 14.00 17.66 2.20 10.61

17.08 8.15 11.29 1.27 41.70 53.15 5.97 5.31 10.67 30.57

2.12 17.19 11.48 37.95 5.80 12.54 20.49 25.39 60.58 7.94

3.40 31.94 14.68 3.61 7.74 2.92 50.22 7.62 3.89 71.44

Вариант 22

53.70 43.70 57.43 46.77 50.51 51.17 56.77 58.64 47.43 54.03

51.72 49.52 46.45 41.72 45.90 40.40 51.06 55.24 49.96 46.77

58.75 50.51 57.65 47.43 46.12 49.96 51.06 56.88 52.16 51.17

47.21 51.17 50.62 48.75 51.28 50.18 57.43 54.91 48.86 50.51

55.57 49.63 52.82 55.79 43.37 63.04 47.21 55.46 51.17 59.85

53.59 41.94 58.53 68.64 52.71 52.71 53.92 66.55 40.51 52.49

39.74 55.46 57.10 54.91 51.94 41.17 53.48 34.80 48.86 49.30

41.39 54.25 51.83 50.84 49.41 51.39 46.77 50.73 56.23 47.32

Вариант 23

31.01 23.07 32.21 26.94 45.89 32.76 39.60 45.05 40.51 42.99

35.47 49.75 38.15 42.42 51.41 43.77 36.38 38.37 36.83 37.36

33.36 39.78 36.41 44.99 51.91 45.72 37.73 32.26 38.40 44.39

26.50 51.46 43.67 48.29 44.70 47.14 24.04 54.23 49.36 49.87

47.09 52.24 39.21 51.55 39.59 28.45 33.09 47.47 41.33 37.35

41.10 41.61 25.33 54.32 52.62 52.16 52.42 40.84 43.91 45.78

49.94 43.35 25.68 32.14 32.22 45.41 35.98 41.01 50.08 36.47

43.72 31.84 29.33 32.34 26.73 41.73 39.59 28.10 47.41 36.80

Вариант 24

2.17 1.34 0.68 3.11 1.55 6.98 0.25 3.49 8.66 4.09

7.82 15.50 4.92 6.78 2.56 2.74 4.82 3.44 5.30 0.73

0.33 12.02 1.17 9.85 6.69 4.52 13.17 0.28 2.01 1.64

4.68 0.62 8.80 3.98 4.87 1.74 2.96 0.95 15.33 0.75

6.53 18.95 7.01 12.77 0.04 1.25 9.39 6.78 0.62 2.09

1.35 9.44 3.96 1.35 13.10 0.80 0.25 7.22 4.47 10.78

2.19 0.66 7.44 2.93 2.18 2.03 13.35 8.43 4.83 8.40

0.07 3.71 10.00 8.44 6.15 0.55 1.25 2.24 7.30 0.63

Вариант 25

72.08 72.35 71.21 69.99 71.45 69.43 67.19 67.23 70.26 71.76

71.76 70.46 70.93 66.91 66.75 69.63 72.12 69.99 68.76 67.54

70.11 72.67 69.04 71.05 67.50 73.81 73.18 69.91 71.84 68.41

72.63 68.41 72.16 73.10 71.80 70.26 72.31 67.58 72.47 71.09

68.61 69.00 70.07 69.08 69.83 74.17 69.59 69.12 68.41 68.21

72.55 70.58 68.61 71.29 66.48 68.29 70.38 70.03 74.80 70.34

67.38 71.37 68.29 68.80 66.59 68.25 72.00 69.20 69.91 69.63

69.91 72.63 69.67 70.03 69.71 68.17 70.14 73.06 70.74 71.13

Вариант 26

27.36 26.08 26.03 29.88 26.07 28.93 27.68 36.61 30.24 28.39

33.66 38.91 28.74 28.70 36.02 30.18 34.14 29.26 31.48 39.24

36.27 26.54 27.15 28.18 28.40 30.64 35.34 34.40 38.92 39.97

38.18 32.22 32.99 33.37 36.61 28.82 39.17 32.28 31.98 38.27

34.64 28.73 36.46 30.23 35.51 37.52 28.79 29.33 38.37 38.39

28.79 26.30 32.19 28.85 33.36 31.49 26.51 32.30 32.72 36.31

37.59 30.74 29.29 35.58 35.94 34.57 36.67 36.86 29.38 31.78

35.58 35.05 35.91 32.02 38.85 31.36 28.60 31.04 33.77 30.71

Вариант 27

2.89 24.30 10.85 33.62 7.66 14.12 10.03 12.03 8.70 47.96

18.32 27.45 25.92 0.11 1.72 21.86 28.08 16.86 32.68 17.75

17.30 21.58 6.54 1.67 0.04 6.95 0.05 2.00 7.11 18.04

0.97 16.09 1.31 0.96 26.77 2.35 39.94 5.63 43.95 0.68

13.99 42.90 2.90 8.39 2.51 16.90 4.33 1.79 7.37 21.19

5.61 2.26 17.98 8.97 7.33 9.61 6.53 3.93 25.63 3.07

3.79 17.71 0.52 6.35 15.90 3.49 17.52 9.82 15.00 5.21

14.23 3.21 2.31 3.28 4.99 5.22 8.81 26.79 2.74 18.29

Вариант 28

73.65 72.25 72.25 72.00 71.71 73.06 71.71 73.65 72.29 74.53

74.97 73.54 74.45 74.23 71.78 72.84 68.74 72.99 72.18 70.61

74.42 73.76 75.73 70.50 74.64 73.46 75.40 75.26 75.51 72.66

76.25 72.36 72.44 75.44 68.70 73.35 74.60 75.59 75.00 72.29

75.81 71.19 71.56 73.83 69.80 75.48 73.10 74.20 71.85 77.82

73.10 72.36 74.89 72.62 70.57 74.71 72.99 74.09 75.59 73.79

74.01 71.89 74.78 73.65 72.88 77.60 72.91 74.53 75.77 75.00

74.23 76.83 73.17 74.60 70.86 72.36 73.50 74.93 75.11 68.81

Вариант 29

10.27 10.46 7.11 10.35 6.81 5.57 5.88 9.29 6.24 10.31

5.68 6.34 10.15 6.18 10.96 12.41 10.21 6.43 10.78 6.48

7.93 8.53 11.79 8.89 7.28 12.17 9.99 6.58 11.49 10.26

12.24 11.61 11.84 9.34 6.08 5.96 9.85 7.06 7.41 8.37

10.11 11.71 7.14 9.74 5.99 7.75 9.78 10.38 11.01 9.47

12.39 11.17 10.05 7.06 5.91 11.70 6.96 11.54 6.44 11.78

11.27 11.85 11.46 8.47 12.13 7.95 11.60 5.67 6.86 9.33

9.41 7.81 7.29 10.24 7.78 10.66 9.14 11.35 8.11 7.77

Вариант 30

2.53 1.35 5.00 1.17 0.11 0.10 0.14 2.08 3.62 0.18

1.50 5.84 2.16 0.83 0.61 3.23 6.38 3.32 3.07 2.76

0.95 0.18 1.33 5.11 1.83 4.56 3.94 3.33 0.30 18.65

0.69 2.10 0.32 5.95 6.97 1.00 0.22 1.27 9.38 2.92

1.39 4.94 3.39 7.84 9.06 6.84 0.35 1.16 1.06 5.13

5.98 3.81 0.61 1.14 1.52 0.73 1.03 0.58 19.34 6.98

1.66 1.32 6.47 7.60 1.53 3.83 2.48 1.82 11.56 17.17

6.70 9.28 5.40 2.82 4.87 1.24 1.43 0.26 6.03 3.26

Примеры выполнения работы

Проверка гипотезы о нормальном распределении

Загрузим пакет stats и подпакеты transform, describe.

> restart:with(stats):with(transform):with(describe):

Вводим реализацию выборки (см. данные своего варианта):

> Y:=[15.41,13.32,14.28,12.26,12.70,13.97,10.89,13.46,12.79,

13.96,15.83,13.27,14.19,14.78,13.35,16.56,14.22,13.26,13.46,

14.98,14.30,14.23,14.99,11.90,15.34,13.80,12.13,13.06,13.37,

13.69,12.15,14.50,13.34,13.37,14.06,15.82,11.85,12.30,11.86,

12.86,13.87,16.39,12.49,13.93,15.33,14.44,13.96,14.74,16.09,

12.65,13.40,13.44,14.54,13.23,12.86,15.91,14.54,12.16,14.42,

14.76,13.60,12.86,13.60,13.58,13.91,13.49,13.82,15.51,13.92,

15.59,12.44,15.70,14.71,15.61,12.88,11.79,13.23,11.79,16.06,

12.29];

Определим объём выборки (подсчитаем количество значений в выборке) и рассчитаем количество интервалов разбиения k:

> n:=count(Y);k:=round(1+1.4*ln(n));

Проведём сортировку выборки (варианты расположим в порядке возрастания):

> Y1:=statsort(Y);

Находим минимальное и максимальное значения выборки и длину интервала разбиения:

> ymin:=Y1[1];ymax:=Y1[n];h:=(ymax-ymin)/k;

Вычислим границы интервалов разбиения:

> Y2:=[seq(ymin+(i-1)*(h+0.0001)..ymin+i*(h+0.0001),i=1..k)];

Находим вектор точек разбиения:

> Z:=[seq(ymin+(i-1)*(h+0.0001),i=1..k+1)];

Составляем интервальный ряд частот Y3 (каждому интервалу поставим в соответствие частоту n_i, т.е. число элементов выборки, попадающих в данный интервал) и вектор частот Y3f:

> Y3:=statsort(transform[tallyinto](Y1,Y2));

> Y3f:=transform[frequency](Y3);

Получим интервальный ряд относительных частот (каждому интервалу поставим в соответствие относительную частоту, т.е. частоту, делённую на объём выборки):

> Y4:=transform[scaleweight[1/n]](Y3);

Строим гистограмму относительных частот:

> Hist:=statplots[histogram](Y4,color=green):

> plots[display](Hist);

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Находим накопленные частоты Y5 (накопленная частота показывает, сколько наблюдалось значений, меньших заданного x) и относительные накопленные частоты Y6:

> Y5:=transform[cumulativefrequency](Y3);

> Y6:=transform[cumulativefrequency](Y4);

.

Строим график эмпирической функции распределения:

> p:=[seq(plot(Y6[i],Y2[i],color=blue),i=1..k)]:plots[display](p);

Находим точечные оценки математического ожидания a (выборочное среднее значение), дисперсии S и среднего квадратического отклонения s:

> a:=mean(Y);

> S:=variance(Y);

> s:=standarddeviation(Y1);

^.

Находим исправленные оценки дисперсии (несмещённая оценка дисперсии) и среднего квадратического отклонения:

> S1:=S*n/(n-1);

> s1:=sqrt(S1);

^.

Вычислим вероятности попадания значения случайной величины в первый и последний (k-ый) интервалы:

> p[1]:=evalf(1/(sqrt(2*Pi)*s1)*int(exp(-(t-a)^2/(2*S1)),t=-infinity..Z[2]));

.

> p[k]:=evalf(1/(sqrt(2*Pi)*s1)*int(exp(-(t-a)^2/(2*S1)),t=Z[k]..infinity));

^.

Вычислим вероятности попадания значения случайной величины во 2, 3, …, k -1 интервалы по формулам , где:

> for i from 2 to k-1 do p[i]:=evalf(1/(sqrt(2*Pi)*s1)*int(exp(-(t-a)^2/(2*S1)),t=Z[i]..Z[i+1])) od;

Находим теоретические частоты np_i:

> for i from 1 to k do n*p[i] od;

Так как на первом и последнем интервалах np_i < 5, то объединим 1-й со 2-м и 6-й с 7-м интервалы и пересчитаем соответствующие вероятности и частоты:

> p[2]:=p[1]+p[2]; Y3f[2]:=Y3f[1]+Y3f[2]; p[6]:=p[6]+p[7]; Y3f[6]:= Y3f[6] +Y3f[7];

.

Сравним эмпирические n_i и теоретические np_i частоты, для этого находим наблюдаемое значение по формуле , гдеi = 2,3,…,6, так как два первых и два последних интервала объединили.

> chi2:=sum((Y3f[j]-n*p[j])^2/(n*p[j]),j=2..6);

^.

По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы ν = s-l-1 (s – число интервалов после пересчёта, l – число параметров в гипотетической функции распределения) находят критическую точку . В нашем случае = 0,01(см. задание), s = 5, l = 2, т.е. ν = 5-2-1=2, тогда .

Так как , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Запишем гипотетическую функцию плотности распределения и построим на одном рисунке гистограмму относительных частот и график плотности гипотетического распределения.

> f:=evalf(1/(sqrt(2*Pi)*s1)*exp(-(x-a)^2/(2*S1)));

> f1:=plot(f,x=ymin-2..ymax+2):

> plots[display](Hist,f1);

Запишем гипотетическую функцию распределения и построим её график.

> F:=evalf(1/(sqrt(2*Pi)*s1))*Int(exp(-(t-a)^2/(2*S1)),t=-infinity..x);

> F1:=plot(F,x=ymin-2..ymax+2):

> plots[display](F1);

Проверка гипотезы о равномерном распределении

Загрузим пакет stats и подпакеты transform, describe.

> restart:with(stats):with(transform):with(describe):

Вводим реализацию выборки (см. данные своего варианта):

> Y:=[10.63,26.04,6.09,23.42,5.25,24.87,3.24,6.24,4.96,13.74,

13.25,21.71,20.96,34.72,8.71,9.06,19.12,20.02,8.58,34.52,

14.29,32.13,13.40,26.62,20.13,6.48,30.30,9.16,12.39,21.48,

5.28,13.82,21.77,32.26,21.70,7.87,29.74,21.11,17.79,17.67,

27.76,27.34,5.87,5.02,12.32,25.43,31.07,24.85,15.14,25.85,

7.14,12.78,24.99,27.51,22.59,29.00,34.62,17.65,9.02,21.51,

11.24,22.13,10.48,13.20,12.34,25.25,31.73,28.72,14.11,9.62,

17.54,12.87,27.15,18.08,19.94,29.86,30.53,10.30,33.13,23.41];

Определим объём выборки (подсчитаем количество значений в выборке) и рассчитаем количество интервалов разбиения k:

> n:=count(Y);k:=round(1+1.4*ln(n));

Проведём сортировку выборки (варианты расположим в порядке возрастания):

> Y1:=statsort(Y);

Находим минимальное и максимальное значения выборки и дли-ну интервала разбиения:

> ymin:=Y1[1];ymax:=Y1[n];h:=(ymax-ymin)/k;

Вычислим границы интервалов разбиения:

> Y2:=[seq(ymin+(i-1)*(h+0.0001)..ymin+i*(h+0.0001),i=1..k)];

Находим вектор точек разбиения:

> Z:=[seq(ymin+(i-1)*(h+0.0001),i=1..k+1)];

Составляем интервальный ряд частот Y3 (каждому интервалу поставим в соответствие частоту n_i, т.е. число элементов выборки, попадающих в данный интервал) и вектор частот Y3f:

> Y3:=statsort(transform[tallyinto](Y1,Y2));

> Y3f:=transform[frequency](Y3);

Получим интервальный ряд относительных частот (каждому интервалу поставим в соответствие относительную частоту, т.е. частоту, делённую на объём выборки):

> Y4:=transform[scaleweight[1/n]](Y3);

Строим гистограмму относительных частот:

> Hist:=statplots[histogram](Y4,color=green):

> plots[display](Hist);

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности.

Находим накопленные частоты Y5 (накопленная частота показывает, сколько наблюдалось значений, меньших заданного x) и относительные накопленные частоты Y6:

>Y5:=transform[cumulativefrequency](Y3);

>Y6:=transform[cumulativefrequency](Y4);

Строим график эмпирической функции распределения:

> p:=[seq(plot(Y6[i],Y2[i],color=blue),i=1..k)]:plots[display](p);

Находим точечные оценки математического ожидания m (выборочное среднее значение), дисперсии S и среднего квадратического отклонения s:

> m:=mean(Y);

> S:=variance(Y);

> s:=standarddeviation(Y1);

Находим исправленные оценки дисперсии (несмещённая оценка дисперсии) и среднего квадратического отклонения:

> S1:=S*n/(n-1);

> s1:=sqrt(S1);

Находим точечные оценки параметров равномерного распределения: , где

> a:= m-sqrt(3.0)*s1; b:= m+sqrt(3.0)*s1;

Вычислим вероятности попадания значения случайной величины в первый и последний (k-ый) интервалы:

> p[1]:=(Z[2]-a)/(b-a);

> p[k]:=(b-Z[k])/(b-a);

Вычислим вероятности попадания значения случайной величины во 2, 3, …, k-1 интервалы по формулам :

> for j from 2 to 6 do p[j]:=(Z[j+1]-Z[j])/(b-a) od;

Находим теоретические частоты np_i:

> for j from 1 to k do n*p[j] od;

Так как все np_i > 5, то пересчёт не делаем, число интервалов остаётся прежним: k = 7.

Сравним эмпирические n_i и теоретические np_i частоты, для этого находим наблюдаемое значение по формуле .

> chi2:=sum((Y3f[i]-n*p[i])^2/(n*p[i]),i=1..7);

По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы ν = s-l-1 (s – число интервалов после пересчёта, l – число параметров в гипотетической функции распределения) находят критическую точку . В нашем случае = 0,01(см. задание), s = k = 7, l = 2, т.е. ν = 7-2-1=4, тогда .

Так как , то гипотеза о равномерном распределении генеральной совокупности принимается.

Запишем гипотетическую функцию плотности распределения

и построим на одном рисунке гистограмму относительных частот и график плотности гипотетического распределения.

> f:=piecewise(x<a,0,x>=a and x<=b,1/(b-a),x>b,0);

> f1:=plot(f,x=ymin-1..ymax+1):

> plots[display](Hist,f1);

Запишем гипотетическую функцию распределения

и построим её график.

> F:=piecewise(x<a,0,x>=a and x<=b,(x-a)/(b-a),x>b,1);

> F1:=plot(F,x=0..ymax+10):

> plots[display](F1);

Проверка гипотезы о показательном распределении

Загрузим пакет stats и подпакеты transform, describe.

> restart:with(stats):with(transform):with(describe):

Вводим реализацию выборки (см. данные своего варианта):

> Y:=[0.63,16.04,6.09,3.42,9.25,2.87,1.34,11.24,4.96,3.74,

9.25,1.71,20.96,6.72,8.71,1.06,19.12,0.02,8.58,31.52,

0.29,8.13,17.40,1.62,3.13,18.48,30.30,9.16,2.39,1.48,

5.28,13.82,1.77,2.26,1.70,7.87,9.74,21.21,7.79,.67,

18.76,8.34,1.87,7.02,2.32,2.43,3.07,4.85,5.14,5.85,

1.14,2.78,4.99,7.51,2.59,2.00,11.62,1.65,9.02,1.51,

11.21,22.13,0.48,13.20,12.34,5.25,5.73,0.72,14.11,9.62,

13.54,12.87,27.11,1.08,5.94,1.86,30.53,6.30,20.13,3.41];

Определим объём выборки (подсчитаем количество значений в выборке) и рассчитаем количество интервалов разбиения k:

> n:=count(Y);k:=round(1+1.4*ln(n));

Проведём сортировку выборки (варианты расположим в порядке возрастания):

> Y1:=statsort(Y);

Находим минимальное и максимальное значения выборки и длину интервала разбиения:

> ymin:=Y1[1];ymax:=Y1[n];h:=(ymax-ymin)/k;

Вычислим границы интервалов разбиения:

> Y2:=[seq(ymin+(i-1)*(h+0.0001)..ymin+i*(h+0.0001),i=1..k)];

Находим вектор точек разбиения:

> Z:=[seq(ymin+(i-1)*(h+0.0001),i=1..k+1)];

Составляем интервальный ряд частот Y3 (каждому интервалу поставим в соответствие частоту n_i, т.е. число элементов выборки, попадающих в данный интервал) и вектор частот Y3f:

> Y3:=statsort(transform[tallyinto](Y1,Y2));

> Y3f:=transform[frequency](Y3);

Получим интервальный ряд относительных частот (каждому интервалу поставим в соответствие относительную частоту, т.е. частоту, делённую на объём выборки):

> Y4:=transform[scaleweight[1/n]](Y3);

Строим гистограмму относительных частот:

> Hist:=statplots[histogram](Y4,color=green):

> plots[display](Hist);

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о показательном распределении генеральной совокупности.

Находим накопленные частоты Y5 (накопленная частота показывает, сколько наблюдалось значений, меньших заданного x) и относительные накопленные частоты Y6:

> Y5:=transform[cumulativefrequency](Y3);

> Y6:=transform[cumulativefrequency](Y4);

Строим график эмпирической функции распределения:

> p:=[seq(plot(Y6[i],Y2[i],color=blue),i=1..k)]:plots[display](p);

Находим точечные оценки математического ожидания a (выборочное среднее значение), дисперсии S и среднего квадратического отклонения s:

> a:=mean(Y);

> S:=variance(Y);

> s:=standarddeviation(Y1);

Находим исправленные оценки дисперсии (несмещённая оценка дисперсии) и среднего квадратического отклонения:

> S1:=S*n/(n-1);

> s1:=sqrt(S1);

Находим точечную оценку параметра показательного распределения:

> lambda:=1/a;

Вычислим вероятности попадания значения случайной величины в первый и последний (k-ый) интервалы:

> p[1]:=int(lambda*exp(-lambda*t),t=0..Z[2]);

p[k]:=int(lambda*exp(-lambda*t),t=Z[k]..infinity);

Вычислим вероятности попадания значения случайной величины во 2, 3, …, k -1 интервалы по формулам :

> for j from 2 to k-1 do p[j]:=int(lambda*exp(-lambda*t),t=Z[j]..Z[j+1]) od;

Находим теоретические частоты np_i:

> for j from 1 to k do n*p[j] od;

Так как на трёх последних интервалах np_i < 5, то объединим эти интервалы и пересчитаем соответствующие вероятности и частоты, при этом число интервалов будет 5:

> p[5]:= p[5]+p[6]+p[7];Y3f[5]:=Y3f[5]+Y3f[6]+Y3f[7];

Сравним эмпирические n_i и теоретические np_i частоты, для этого находим наблюдаемое значение по формуле , гдеi = = 1,2,…,5, так как три последних интервала объединили.

> chi2:=sum((Y3f[i]-n*p[i])^2/(n*p[i]),i=1..5);

По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы ν = s-l-1 (s – число интервалов после пересчёта, l – число параметров в гипотетической функции распределения) находят критическую точку . В нашем случае = 0,01(см. задание), s = 5, l = 1, т.е. ν = 5-1-1=3, тогда .

Так как , то гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности принимается.

Запишем гипотетическую функцию плотности распределения и построим на одном рисунке гистограмму относительных частот и график плотности гипотетического распределения.

> f:=piecewise(x<0,0,x>=0,evalf(lambda*exp(-lambda*x)));

> f1:=plot(f,x=-10..ymax+10):

> plots[display](Hist,f1);

Запишем гипотетическую функцию распределения

и построим её график.

> F:=piecewise(x<0,0,x>=0,1-exp(-lambda*x));

> F1:=plot(F,x=-10..ymax+10):

> plots[display](F1);