Лабораторная работа 3 Линейная регрессия

Цель работы: получить навыки построения регрессионных моделей с помощью системы Maple.

Краткий теоретический материал. Парная регрессия – уравнение связи двух переменных:

,

где – зависимая переменная (результативный признак);

–независимая объясняющая переменная (фактор-признак).

Линейная парная регрессия:, где и− параметры регрессии,− случайная переменная или ошибка.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке её параметров. Для этого используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических значенийминимальна, т.е.:

.

Для нахождения оценок параметров регрессии решается следующая система относительно и:

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным. Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

,

где − общая сумма квадратов отклонений;

–сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объяснённая» или «факторная»);

–остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации, который можно вычислить по формуле:

.

Например, коэффициент детерминации свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменнойна 87,1 % объясняется изменчивостью объясняющей переменной.

Уравнение регрессии значимо на уровне , если фактическое значение– статистики

удовлетворяет условию ,где− табличное значение-критерия Фишера;− число оцениваемых параметров уравнения регрессии (для линейной парной регрессии);− число наблюдений;,.

Задание. Рассматриваются случайные величины X и Y, между которыми существует статистическая зависимость. Случайная ве-личина X считается независимой переменной, Y – зависимой. По заданным в условии результатам измерения аппроксимировать статистическую зависимость подходящей линейной зависимостью. Уравнение прямой найти методом наименьших квадратов. Определить достоверность полученной зависимости.

Вариант 1

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	-1.45	-1.83	-1.25	-1.05	-1.24	-0.99	-0.77
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	-0.50	-0.34	0.08	0.09	0.32	0.99	0.86

Вариант 2

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	-2.17	-1.38	-0.97	-0.5	-0.31	-0.72	-0.31
x	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3	0.4
y	0.2	0.92	0.99	1.05	1.30	1.41	1.89

Вариант 3

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	0.49	0.63	0.28	0.77	1.3	1.21	1.31
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	1.46	1.91	2.15	2.28	2.43	2.73	2.57

Вариант 4

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	-0.14	0.66	1.40	0.93	1.74	1.76	1.77
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	2.62	2.79	2.74	2.72	3.31	3.50	4.08

Вариант 5

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	2.02	2.07	2.44	2.71	2.96	2.91	3.32
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	3.49	3.46	3.97	4.12	3.94	4.68	4.92

Вариант 6

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	2.32	2.45	2.92	2.54	3.49	3.73	4.11
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	4.94	4.68	4.86	5.61	6.02	5.46	6.59

Вариант 7

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	3.91	3.89	4.70	4.99	4.94	5.48	5.38
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	5.49	5.4	5.71	6.52	6.35	6.52	7.14

Вариант 8

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	3.97	4.81	4.92	5.36	5.82	5.79	6.27
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	6.86	6.21	6.86	7.37	7.53	7.96	8.40

Вариант 9

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	2.26	1.68	1.48	1.27	1.18	1.13	0.65
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	0.74	0.22	0.22	0.02	-0.38	-0.57	-0.92

Вариант 10

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	2.71	2.85	2.34	2.4	1.76	2.16	1.81
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	1.6	1.14	1.35	0.79	0.99	0.27	0.06

Вариант 11

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	4.09	3.64	3.43	3.19	3.10	3.06	2.68
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	2.24	2.26	2.04	1.96	1.19	1.50	1.04

Вариант 12

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	4.59	4.78	4.49	4.20	3.75	3.94	3.54
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	3.62	3	2.78	2.77	2.51	2.48	1.80

Вариант 13

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	5.89	5.34	5.62	5.19	4.75	4.65	4.25
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	4.25	4.23	3.96	3.82	3.56	3.24	2.89

Вариант 14

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	7.69	7.51	7.31	6.95	6.63	6.52	5.65
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	5.61	5.08	4.77	4.50	4.22	3.35	3.87

Вариант 15

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	4.87	4.99	5.07	5.44	5.36	5.43	5.50
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	5.64	5.86	5.79	5.92	6.36	6.08	6.5

Вариант 16

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	-1.46	-1.84	-1.26	-1.06	-1.25	-0.98	-0.78
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	-0.51	-0.35	0.09	0.08	0.33	0.98	0.87

Вариант 17

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	-2.18	-1.39	-0.98	-0.6	-0.32	-0.73	-0.32
x	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3	0.4
y	0.21	0.93	0.98	1.06	1.31	1.42	1.88

Вариант 18

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	0.48	0.64	0.29	0.78	1.31	1.23	1.32
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	1.47	1.9	2.14	2.29	2.44	2.72	2.56

Вариант 19

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	-0.15	0.67	1.41	0.94	1.75	1.76	1.78
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	2.62	2.79	2.74	2.72	3.31	3.50	4.08

Вариант 20

x	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3
y	2.02	2.07	2.44	2.71	2.96	2.91	3.32
x	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	3.49	3.46	3.97	4.12	3.94	4.68	4.92

Вариант 21

x	-0.11	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4
y	2.33	2.46	2.91	2.54	3.48	3.74	4.12
x	-0.3	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3
y	4.95	4.69	4.86	5.62	6.03	5.45	6.58

Вариант 22

x	-0.11	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4
y	3.91	3.89	4.70	4.99	4.94	5.48	5.38
x	-0.3	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3
y	5.49	5.4	5.71	6.52	6.35	6.52	7.14

Вариант 23

x	-0.11	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4
y	3.97	4.81	4.92	5.36	5.82	5.79	6.27
x	-0.3	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3
y	6.86	6.21	6.86	7.37	7.53	7.96	8.40

Вариант 24

x	-0.11	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4
y	2.26	1,68	1.48	1.27	1.18	1.13	0.65
x	-0.3	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3
y	0.74	0.22	0.22	0.02	-0.38	-0.57	-0.92

Вариант 25

x	-0.11	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4
y	2.71	2.85	2.34	2.4	1.76	2.16	1.81
x	-0.3	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3
y	1.6	1.14	1.35	0.79	0.99	0.27	0.06

Вариант 26

x	-0.11	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4
y	4.09	3.64	3.43	3.19	3.10	3.06	2.68
x	-0.3	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3
y	2.24	2.26	2.04	1.96	1.19	1.50	1.04

Вариант 27

x	-0.11	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4
y	4.59	4.78	4.49	4.20	3.75	3.94	3.54
x	-0.3	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3
y	3.62	3	2.78	2.77	2.51	2.48	1.80

Вариант 28

x	-0.11	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4
y	5.89	5.34	5.62	5.19	4.75	4.65	4.25
x	-0.3	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3
y	4.25	4.23	3.96	3.82	3.56	3.24	2.89

Вариант 29

x	-0.11	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4
y	7.69	7.51	7.31	6.95	6.63	6.52	5.65
x	-0.3	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3
y	5.61	5.08	4.77	4.50	4.22	3.35	3.87

Вариант 30

x	-0.11	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4
y	4.87	4.99	5.07	5.44	5.36	5.43	5.50
x	-0.3	-0.2	-0.1	0.	0.1	0.2	0.3
y	5.64	5.86	5.79	5.92	6.36	6.08	6.5

Пример выполнения лабораторной работы

Зададим значения величин и.

> restart:X:=[-0.9,-0.8,-0.7,-0.6,-0.5,-0.4,-0.3,-0.2, -0.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4]:

>Y:=[-5.32,-5.62,-5.51,-4.72,-4.68,-4.24,-3.74,-3.46,-2.84,-3.39,-3.08,-2.17,-1.69,-1.33]:

Построим корреляционное поле. Нанесём точки с координатами , на координатную плоскость.

> with(stats): statplots[scatterplot](X,Y,color=black).

Замечание. В версии Maple V R 4 для построения корреляционного поля нужно вызывать функцию с именем scatter 2d.

Методом наименьших квадратов найдём прямую такую, что сумма квадратов отклонений заданных точек от прямой будет наименьшей.

> fit[leastsquare[[x,y]]]([X,Y]);

Результат, полученный на экране монитора:

Для удобства определим найденную зависимость как функцию пользователя с именем :

> F:=unapply(-2.888461538+3.243296703*x,x);

Результат, полученный на экране монитора:

Определим «значимость» полученной нами регрессионной зависимости. Вычислим значение коэффициента детерминации R². Найдём среднее значение . Обозначим эту величину идентификатором Ysr.

> n:=14:Ysr:=sum(Y[i],'i'=1..n)/n.

Результат, полученный на экране монитора:

Вычислим значения , определяемые уравнением регрессии. Полученное множество значений обозначим идентификатором FL.

> FL:=seq(F(X[i]),i=1..n):

Определим – меру разброса, объяснённого с помощью регрессии, и –меру общего разброса (вариации) переменной :

> SR2:=sum((FL[i]-Ysr)^2,'i'=1..n); S2:=sum((Y[i]-Ysr)^2,'i'=1..n);

Результат, полученный на экране монитора:

Вычислим значение статистического коэффициента детерминации R²:

> R2:=SR2/S2;

Результат, полученный на экране монитора:

По величине коэффициента детерминации заключаем, что вариация исследуемой зависимой переменной на 95.13 % объясняется изменчивостью объясняющей переменнойх.

Определим значимость уравнения регрессии. Найдём F_st –зна-чение F-статистики:

> Fst:=R2*(n-2)/(1-R2);

Результат, полученный на экране монитора:

Найденное значение F_st сравним с критическим значением критерия Фишера. Уровень значимости примем равным 0.05. По таблице определяем, что F_кр=4.747. Так как F_st>F_кр, то уравнение регрессии значимо на уровне 0.05.

Изобразим корреляционное поле и график полученной прямой на одном рисунке:

> k:=statplots[scatterplot](X,Y,color=green):

> l:=plot(F(x),x=-0.9..0.4):

> plots[display]([k,l]);

Результат, полученный на экране монитора: