МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса
Ф И З И К А .
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Часть 1
М е х а н и к а . Молекулярная физика
и т е р м о д и н а м и к а
Для студентов технологического, механикорадиотехнического, экономического факультетов и Института дистанционного и заочного обучения
ШАХТЫ 2004
УДК 539.1(07) ББК 22.36я7
Г
Составители:
доц. каф. «Физика», к.т.н. В.В. Глебов (№1) доц. каф. «Физика», к.ф-м.н. И.Н. Даниленко (№2)
Зав. каф. «Физика», проф., д.т.н. С.В. Кирсанов (№3) ассистент каф. «Физика» А.В. Меркулова (№4)
ассистент каф. «Физика» С.В. Токарева (№5) доц. каф. «Физика», к.ф-м.н. В.В. Коноваленко (№6) доц. каф. «Физика», к.ф-м.н. А.А. Баранников (№7)
доц. каф. «Физика», к.т.н. Н.З. Алиева (№8) доц. каф. «Физика», к.т.н. Ю.В. Присяжнюк (№9) доц. каф. «Физика», к.т.н. Н.И. Санников (№10)
Рецензент:
доц. каф. «Радиотехника», к.ф-м.н. И.Н. Семенихин
ГГлебов В.В. Физика. Лабораторный практикум: В 3 ч. Ч.1: Механика. Молекулярная физика и тер модинамика / В.В. Глебов, И.Н. Даниленко, В.В. Коноваленко, Н.З. Алиева, А.В. Меркулова, С.В. Кирсанов, С.В. Токарева, Н.И. Санников, Ю.В. Присяжнюк, А.А. Баранников; Под. ред. Ю.В. Присяжнюка. – Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2004. – 79 с.
Лабораторный практикум издан в 3-х частях и предназначен для подготовки студентов технологического, механико-радиотехнического, экономического факультетов и Института дистанционного и заочного обучения к выполнению лабораторных работ по курсу «Физика». Первая часть охватывает такие разделы курса, как «Механика», «Молекулярная физика и термодинамика». В содержание каждой лабораторной работы входит: краткая теория, описания экспериментальной установки и методики проведения измерений, указания по обработки экспериментальных данных и представления полученных результатов.
УДК 539.1(07) ББК 22.36я7
©Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, 2004
©В.В. Глебов, И.Н. Даниленко, В.В. Коноваленко и др., 2004
|
3 |
С О Д Е Р Ж А Н И Е |
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1: Измерение физических величин |
|
и математическая обработка результатов измерений ................. |
4 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2: Определение ускорения силы |
|
тяжести при свободном па дении тела ........................................ |
18 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3: Определение ускорения |
|
свободного падения при помощи оборотного физического и |
|
математического маятников ....................................................... |
26 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4: Определение момента инерции |
|
твердого тела при помощи крутильного маятника ..................... |
36 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5: Определение момента инерции |
|
тел с помощью маятника Максвелла .......................................... |
44 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6: Изучение законов |
|
вращательного движения с помощью маятника Обербека ........ |
51 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7: Определение средней длинны |
|
свободного пробега и эффективного диаметра молекул |
|
воздуха ....................................................................................... |
60 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8: Определение коэффициента |
|
внутреннего трения жидкости методом падающего шарика |
|
(метод Стокса) ............................................................................ |
65 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9: Определение показателя |
|
адиабаты газа ............................................................................. |
69 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10: Определение изменения |
|
энтропии ..................................................................................... |
78 |
4 Измерение физических величин и математическая обработка результатов измерений
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1: Измерение физических величин и математическая обработка результатов измерений
Понятие об измерении
Измерением называется нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.
При измерении физическая величина сравнивается с некоторым ее значением, принятым за единицу. Результат измерения представляет собой, как правило, именованное число: числовое значение измеренной величины и наименование единицы.
Например: напряжение U=1,5 В; сила тока =0,27 А; частота
=528 Гц.
Погрешностью измерения физической величины называется отклонение результата измерения Xизм от истинного значения Xист
Х=Хизм -Хист
Истинное значение физической величины не может быть известно, поэтому вместо него берут найденную экспериментально приближенную оценку истинного значения, которую затем используют вместо истинного для данной цели.
Из указанного следует, что найденная при измерениях оценка истинного значения величины обязательно должна сопровождаться указанием ее погрешности. Поскольку погрешность определяет диапазон, внутрь которого истинное значение попадает только с некоторой вероятностью, то эта вероятность обязательно должна быть указана.
Классификация измерений
Прямые измерения – это измерения, при которых искомое значение величины находится непосредственно из опытных данных Х. Например: измерение длины линейкой, напряжение вольтметром, силы тока амперметром. Математическая зависимость между измеряемыми и определяемыми путем прямых измерений величинами выражается так:
=Х.
Эта связь называется уравнением измерения.
Косвенные измерения – это измерения, при которых искомая величина находится с помощью заранее известной математической формулы. Причем аргументами этой формулы являются величины,
Измерение физических величин и матема тическая обработка 5 результатов измерений
определенные путем прямых измерений.
Например: измерение объема куба V по измерению длины его ребра L: V=L3
Уравнение косвенных измерений в общем случае имеет вид:
Y = f (Х1, Х2, Х3, . . . Хn),
где Хj – аргументы, полученные путем прямых измерений, либо известные константы.
Классификация погрешностей
Классификация погрешностей по форме выражения
Абсолютной погрешностью называют погрешность,
выраженную в единицах измерения величины. Например, u В и т.п.
Х=Хизм - Хист
Если измеренная величина превышает истинное значение, погрешность положительна, если же измеренная величина меньше истинного значения, то погрешность отрицательна. Величина абсолютной
погрешности не характеризует качество измерения. Действительно, если |
||
полученная погрешность L мм при измерении стола L1, это хорошее |
||
1 |
|
|
качество измерения, а если та же погрешность L |
L |
=1 мм имеет |
1 |
|
2 |
место при измерении диаметра карандаша L2, это невысокое качество измерения.
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к истинному значению величины.
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
Х |
|
|
|
|
|
ист |
||
|
|
|
|
||
, или в процентах:
|
Х |
|
|
|
Х
Хист
100%
.
Эта погрешность является характеристикой качества измерения.
Пример тот же - измерение длины стола L1 и диаметра L2 карандаша.
Пусть L1=1 м, а L2=1 см = 0,01 м. Тогда относительные погрешности равны:
для стола: |
|
|
|
|
L |
|
0.001 |
м |
10 |
3; |
|
|
|
0,1% ; |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
L1 |
|
1 м |
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для карандаша |
|
|
|
|
L |
|
|
0.001 м |
10 1; |
|
|
10% . |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
L2 |
0,01 |
м |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Видно, что относительная погрешность измерения длины стола в
6 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений
100 раз меньше, чем диаметра карандаша, то есть качество измерения длины стола в 100 раз выше при одинаковой величине абсолютной погрешности.
Классификация погрешностей по закономерности их появления
Промахи – ошибки, возникающие в результате неправильных действий экспериментатора. Это может быть описка при записи, неправильное снятие показаний прибора и т.д. Обнаруженные промахи следует всегда исключать из рассмотрения при обработке результатов измерений.
Систематическая погрешность с – это составляющая общей погрешности измерения, которая остается постоянной при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях.
К систематическим погрешностям относятся: погрешность градуировки шкалы прибора, температурная погрешность и т.д.
Анализ источников систематических погрешностей – одна из основных задач при точных измерениях. Иногда найденная систематическая погрешность может быть исключена из результата измерения путем введения соответствующей поправки. Способы оценки систематической погрешности описаны ниже.
Случайная погрешность сл – это вторая составляющая общей погрешности измерения, которая при повторных измерениях в одних и тех же условиях изменяется случайным образом, без видимой закономерности. Случайные погрешности являются следствием наложения случайных процессов, сопровождающих любое физическое измерение и влияющих на его результат. Следует отметить, что случайная погрешность уменьшается при увеличении количества повторных измерений в отличие от систематической погрешности, которая не меняется. Способ оценки случайной погрешности описан ниже.
Систематические погрешности, оценка их величины
В таблице 1.1 показана классификация систематических погрешностей, а так же способы их обнаружения и оценки.
Т а б л и ц а 1 . 1 |
– Классификация систематических погрешностей |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тип |
|
|
Способ оценки |
|
|
|
|
|
систематической |
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
или исключения |
|
|
|
||
|
погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1. Постоянная |
|
|
Может быть исключена |
|
Смещение стрелки |
||
|
погрешность |
|
|
путем введения поправки |
|
прибора от нулевого |
||
Измерение физических величин и матема тическая обработка 7 результатов измерений
|
известной |
|
(положительной или |
|
положения на известное |
|
величины и знака |
|
отрицательной) |
|
число делений |
|
|
|
Может быть оценена по |
|
Цена деления линейки |
|
|
|
|
равна 1 мм. |
|
|
2. Погрешность |
|
известному классу точности |
|
|
|
|
|
Систематическая |
||
|
градуировки |
|
прибора или по цене деления |
|
|
|
|
|
погрешность |
||
|
прибора |
|
шкалы прибора |
|
|
|
|
|
градуировки оценивается |
||
|
|
|
(исключить нельзя) |
|
|
|
|
|
|
0,5 мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
Оценивается как половина |
|
Если число π округлено |
|
3. Погрешность |
|
|
до 3,14, то погрешность |
|
|
|
последнего указанного при |
|
||
|
округления числа |
|
|
округления оценивается |
|
|
|
округлении разряда числа |
|
||
|
|
|
|
0,005, если π » 3,1, то 0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Погрешность, о |
|
Погрешность может быть |
|
Обнаружение |
|
которой |
|
обнаружена путём измерения |
|
разноплечности весов |
|
экспериментатор |
|
одной и той же величины с |
|
путем взвешивания на |
|
только |
|
помощью разных методов в |
|
них тела попеременно на |
|
догадывается |
|
разных условиях |
|
левой и правой чашках |
Следует подробнее рассмотреть систематические погрешности типа 2 (таблица 1.1). Этот тип погрешности имеет любой измерительный прибор.
На шкале почти всех измерительных приборов указан класс их точности. Например, 0,5 означает, что показания прибора правильны с точностью 0,5% от всей действующей шкалы прибора. Если вольтметр имеет шкалу до 150 В и класс точности 0,5, то систематическая абсолютная погрешность измерения этим прибором равна:
|
с |
|
|
150 В 0,5% |
|
100% |
||
|
0,7В
.
Когда класс точности прибора не указан (например, штангенциркуль, микрометр, линейка), то можно использовать другой способ. Он заключается в использовании цены одного деления прибора. Ценой деления прибора называют такое изменение физической величины, которое происходит при перемещении стрелки прибора на одно деление шкалы.
Считается, что систематическая погрешность данного прибора равна половине цены деления шкалы.
Например, если мы измеряем длину стола линейкой с ценой деления 1 мм, то систематическая погрешность измерения равна 0,5 мм. Следует усвоить, что систематическая погрешность не может быть уменьшена путем повторения измерений.
8 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений
С остальными типами систематических погрешностей познакомьтесь с помощью таблицы 1.1.
Случайные погрешности прямых измерений
Оценка истинного значения измеряемой величины
Случайные погрешности проявляются при многократных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях. Влияние случайных погрешностей на результат измерений надо учитывать и стремиться по возможности уменьшать.
Пусть в процессе прямых измерений получен ряд значений физической величины: Х1, Х2, Х3, ..., Хn.
Как оценить истинное значение величины и найти случайную погрешность измерений?
Для большинства измерений наилучшей оценкой истинного значения Хист, как показано в математической теории погрешностей, следует считать среднее арифметическое Хср ряда измеренных значений (в данной работе для обозначения среднего арифметического значения используется индекс “ср”, например Хср или черта над величиной, например Х ):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Х |
|
Х |
|
|
..... Х |
|
|
X i |
|
|
|
Х ист Х |
ср Х |
1 |
2 |
n |
|
i 1 |
, |
(1.1) |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n – количество проведенных измерений величины Х.
Оценка случайной погрешности
Теперь надо ответить на вопрос: чему равна случайная погрешность сл полученной выше величины Хср?
В теории погрешностей показано, что в качестве оценки случайной погрешности сл среднего арифметического значения Хср следует брать так называемое среднее квадратическое отклонение , которое вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( X i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X )2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( X |
|
X ) |
2 |
( X |
|
X ) |
2 |
... ( X X ) |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
. (1.2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n(n 1) |
|
|
|
|
|
n(n |
1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Очень важной особенностью этой формулы является то, что определяемая величина случайной погрешности уменьшается при увеличении числа измерений n. (систематическая погрешность этим свойством не обладает). Значит, если необходимо уменьшить случайную погрешность, то это можно сделать путем увеличения количества
Измерение физических величин и матема тическая обработка 9 результатов измерений
повторных измерений.
Эта величина погрешности определяет тот интервал, внутрь которого попадает истинное значение измеренной величины с определённой вероятностью Р. Чему же равна эта так называемая доверительная вероятность?
Теория погрешностей показывает, что для большого количества измерений n 30, если случайную погрешность принять равной среднему квадратическому отклонению сл= , то доверительная вероятность равна 0,68. Если в качестве оценки случайной погрешности взять удвоенное значение сл=2 , то внутрь этого увеличенного интервала истинное значение будет при многократных измерениях попадать с доверительной вероятностью Р=0,95, для интервала сл=3 вероятность Р=0,997 (рис.
1.1).
|
|
|
|
В интервал 1 (см. рис. |
||
|
1.1) |
истинное |
значение |
|||
|
|
|
величины Х может попасть с |
|||
|
|
|
вероятностью |
Р=0,68, |
в |
|
|
|
|
интервал 2 - с вероятностью |
|||
|
|
|
Р=0,95, в интервал 3 – с |
|||
|
|
|
вероятностью Р=0,997. |
|
||
|
|
|
|
|||
|
Рис. 1.1 |
|
|
Какой же оценкой для |
||
|
|
|
случайной |
погрешности |
||
|
|
|||||
|
|
|
||||
следует пользоваться? Для измерений, которые проводятся с учебными целями, достаточно в качестве оценки сл брать , для которой Р=0,68. Для научных измерений обычно используют оценку сл=2 с Р=0,95. В особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с созданием эталонов или имеют значение для здоровых людей, в качестве оценки случайной погрешности берут 3 , для которой Р=0,997.
В лабораторных работах можно брать в качестве оценки случайной погрешности сл величину , для которой доверительная вероятность Р=0,68.
Суммирование погрешностей
Общая абсолютная погрешность измерения всегда содержит две составляющие: систематическую погрешность с и случайную погрешность сл
Можно оценить величину с (п.4) и отдельно оценить величину . Как после этого найти суммарную погрешность?
Общая абсолютная погрешность находится по формуле
|
|
|
|
|
2с 2сл . |
(1.3) |
|
10 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений
Сложение погрешностей можно интерпретировать и графически (рис. 1.2). Общая погрешность равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются с и сл.
Покажем, что часто при сложении погрешностей формулой (1.3) можно и не пользоваться. Пусть одна из погрешностей, например с, в 2 раза меньше, чем другая сл. Тогда, согласно формуле (1.3),
|
|
|
2 |
|
с |
2 сл
=
|
( |
|
сл |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
2 |
|
|
|
сл |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
2 |
|
4 |
|
сл |
|
|
|
||
|
|
|
|
1,1 |
сл |
|
.
Видно, что абсолютная погрешность в этом случае лишь на 10% больше, чем случайная. То есть если бы систематической погрешности вообще не было, то в нашем
|
|
|
примере |
это |
мало бы |
||
|
|
|
повлияло |
|
на |
|
общую |
|
|
|
абсолютную |
погрешность. |
|||
|
|
|
Теперь |
|
учтем, |
что |
|
|
|
|
погрешность |
редко |
удается |
||
|
|
|
оценить с точностью лучше |
||||
|
|
|
чем 10-20%, тогда в нашем |
||||
|
|
|
случае |
можно |
положить |
||
|
Рис. 1.2 - Графическое сложение |
||||||
|
|
= сл, |
|
то |
|
есть |
|
|
случайной и систематической |
|
|
|
|||
|
|
|
систематической |
||||
|
погрешностей |
|
|
||||
|
|
|
погрешностью |
с |
можно |
||
|
|
|
|||||
вообще пренебречь.
Из сказанного вытекают следующие правила измерений:
1. Если систематическая погрешность в два и более раз больше, чем случайная, то случайной погрешностью можно пренебречь; большое количество измерений при этом
проводить нецелесообразно, так как с не уменьшается при увеличении n. Итак, если с сл, то с (при этом достаточно провести три-четыре измерения только для того, чтобы убедиться, что показания прибора повторяются без случайных отклонений).
2. Если, наоборот, случайная погрешность более чем в 2 раза превышает систематическую, то систематической погрешностью можно пренебречь, то есть если сл с, тосл (желательно провести побольше измерений для уменьшения сл).
Измерение физических величин и матема тическая обработка 11 результатов измерений
3. Если обе составляющие общей абсолютной погрешности соизмеримы, то следует их суммировать по формуле (1.3) или графически по рис. 1.3. (Количество измерений целесообразно увеличить для уменьшения сл и перехода к случаю 1).
Принимая во внимание, что вместо сл можно взять её оценку , то формула (1.3) примет вид:
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
с |
|
|
На схеме (рис. 1.3) обобщены методы определения погрешности при прямых измерениях.
Рис. 1.3 - Схема определения погрешности прямых измерений
Правила округления погрешности и результата измерения
Рассчитывая значения систематической, случайной и суммарной погрешностей, особенно при использовании электронного калькулятора, получают значение с большим числом знаков. Однако исходные данные для этих расчетов всегда указываются с одной или двумя значащими цифрами. Действительно, класс точности прибора на его шкале
12 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений
указывается не более чем с двумя значащими цифрами, а среднее квадратичное отклонение не имеет смысла записывать с более чем двумя значащими цифрами, так как точность этой оценки при 10 измерениях не выше 30%.
Вследствие этого и в окончательном значении расчетной погрешности должны быть оставлены только первые одна – две значащие цифры.
При этом необходимо учитывать следующее. Если полученное число начинается с цифры 1 или 2, то отбрасывание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 30 – 50%), это недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, то есть указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.
В итоге можно сформулировать правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения:
1.Абсолютная погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, – если первая есть 3 и более.
2.Среднее значение измеренной величины округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.
3.Относительную погрешность, выраженную в процентах, достаточно записать двумя значащими цифрами.
4.Округления производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления будут с одним-двумя лишними знаками.
Пример: На вольтметре класса точности 2,5 с пределом измерений 300 В были произведены несколько повторных измерений одного и того же напряжения. При этом оказалось, что все замеры дали одинаковый результат 267,5 В.
Отсутствие различий между знаками говорит о том, что случайная погрешность пренебрежимо мала, поэтому суммарная погрешность совпадает с систематической (см. рис. 1.3 а).
Сначала найдем абсолютную, а затем относительную погрешности. Абсолютная погрешность градуировки прибора равна:
Измерение физических величин и матема тическая обработка 13 результатов измерений
|
300 В |
2,5% |
7,5 Β 8 В. |
|
|||
U |
|
100% |
|
|
|
|
Так как первая значащая цифра абсолютной погрешности больше трех, то это значение должно быть округлено до 8 В.
Относительная погрешность: |
|
||||||
|
|
|
|
7,5 В |
100% 2,81% |
2,8%. |
|
|
U |
267,5 Β |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
В значении относительной погрешности должны быть сохранены |
|||||||
два значащих разряда 2,8% |
|
|
|||||
Таким |
образом, в |
окончательном ответе |
должно быть сообщено |
||||
“Измеренное |
напряжение |
U=(268+8) В при относительной погрешности |
|||||
U=2,8% ”. |
|
|
|
|
|
|
|
Погрешности косвенных измерений
Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины , которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения
Y=f(Х1, Х2, … , Хn), |
(1.4) |
где Хj – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.
В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.
Способ 1. Сначала находится абсолютная , а затем относительнаяпогрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.
Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:
|
X |
|
где
|
|
f |
|
2 |
|
|
|
f |
|
2 |
|
|
f |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
X |
1 |
|
|
|
X |
2 |
|
|
|
X |
(1.5) |
||
|
|
X1 |
|
|
|
|
X 2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
|
|
|||
f 
X j частные производные функции Y=f(Х1, Х2, … , Хn) по аргументу Хj,
X j общая погрешность прямых измерений величины Хj.
14 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений
Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y. Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величин Xj.
То есть среднее значение величины Y равно:
Теперь легко найти относительную погрешность: |
|
|
Y
X
f
( X |
1 |
, |
|
|
|
|
|
X |
/Y |
||
|
|
|
|
X |
2 |
,.... X |
|
|
.
n
)
.
Пример: найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n=10.
Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:
Пусть
V
h 25,3 мм, D 1,54 мм,
f
h
D
(D,h , ) |
1 |
D |
2 |
h. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0,2 мм, при Р=0,68; |
||||
0,15 мм, при Р=0,68. |
||||
Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём:
|
|
( |
f |
|
)2 |
|
2 ( |
f |
)2 |
2 |
|
( |
f |
)2 |
2 |
|
|
|
||||||
V |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
h |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 Dh |
)2 |
|
2 |
( |
D2 |
2 |
2 |
( |
D2 h |
)2 |
2 |
|
|||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
h |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3746 0,0225 3,47 0,04 225 25 10 6
84,3 0,139 0,006 9,18 мм3 .
Погрешность V в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
47,3 мм , |
||
|
|
равен: V |
D |
h |
|||||||
Средний объём V |
|||||||||||
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
относительная погрешность V равна:
V V 9,18 мм 0,19 , или V=19%. V 47,1 мм
Окончательный результат после округления:
V=(47 9) мм3, V=19%, Р=0,68.
Способ 2. Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют.
Измерение физических величин и матема тическая обработка 15 результатов измерений
В начале находят относительную погрешность , и только затем абсолютную . Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.
Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере - определение погрешности при измерении объёма цилиндра
V
1 |
|
|
4 |
||
|
D 2
h
.
Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.
Пусть
h
25,3
мм,
|
h |
0,2 мм, |
|
|
; при Р=0,68;
D1,54
3,14
мм, |
D |
|
|
|
|
|
|
0,15 мм, ; при Р=0,68.
0,005-погрешность округления числа (см. рис. 1.1)
При использовании способа 2 следует действовать так:
1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)
ln V ln( |
1 |
D h ) ln 2 |
ln D ln h ln 4 . |
||
4 |
|||||
|
|
|
|
||
Найти дифференциалы от левой и правой частей, считая |
, D, h |
||||
независимыми переменными,
dV |
|
d |
|
V |
|
||
|
2 |
dD |
|
|
D |
|||
|
|
dh h
;
2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:
V |
|
2 |
D |
h ; |
V |
|
|
D |
h |
3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности V /V , однако это не так. Требуется так оценить погрешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения:
16 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений
|
V |
|
|
V |
|
|
( |
|
|
) |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(2 |
|
D |
) |
2 |
|
||||
D |
|
|||
|
|
|
||
( |
|
h |
) |
2 |
|
||||
|
|
|
||
|
h |
|
|
|
.
Или в других обозначениях равна:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
V |
|
|
относительная
(2 |
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
погрешность объёма
2 |
, |
h |
причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:
|
|
|
|
|
|
P P |
P |
|
|||
|
|
|
|
|
|
V |
D |
|
h |
|
|
Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой |
|||||||||||
по способу 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V |
|
2,5 10 |
6 |
3,8 10 |
2 |
6,2 10 |
5 |
0,19 |
||
|
|||||||||||
V |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:
V=0,19 · 47=9,4 мм3, P=0,68.
Окончательный результат после округления:
V = (47 ± 9) мм3, V = 19%, P=0,68.
Контрольные вопросы
1.В чём заключается задача физических измерений?
2.Какие типы измерений различают?
3.Как классифицируют погрешности измерений?
4.Что такое абсолютная и относительная погрешности?
5.Что такое промахи, систематические и случайные погрешности?
6.Как оценить систематическую погрешность?
7.Что такое среднее арифметическое значение измеренной величины?
8.Как оценить величину случайной погрешности, как она связана со средним квадратичным отклонением?
9.Чему равна вероятность обнаружения истинного значение
измеренной величины в интервале от Хср - до Хср + ?
Измерение физических величин и матема тическая обработка 17 результатов измерений
10.Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2 или 3 , то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?
11.Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?
12.Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?
13.Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях? Как при этом действовать?
14.Что нужно записать в качестве результата измерения? Какие величины указать?