Пример выполнения задания 1

Дан ряд распределения случайной величины.

X	-3	-1	2	4	5
P	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2

> restart;with(stats):with(describe):with(plots):

Вводим значения случайной величины:

> X:=[-3,-1,2,4,5];n:=count(X);

_{X:=[-3,-1,2,4,5]}

_n:=5

Вводим соответствующие вероятности:

> P:=[0.2,0.3,0.2,0.1,0.2];

_{P:=[0.2,0.3,0.2,0.1,0.2]}

Проверка корректности задания случайной величины:

> sum('P[i]','i'=1..n);

_1.0

Строим многоугольник распределения:

>a:=pointplot([[X[1],P[1]],[X[2],P[2]],[X[3],P[3]],[X[4],P[4]],[X[5],P[5]]]):

>b:=plot([[X[1],P[1]],[X[2],P[2]],[X[3],P[3]],[X[4],P[4]],[X[5],P[5]]]):

> display([a,b]);

Запишем функцию распределения случайной величины X и построим её график.

> F:=piecewise(x<=X[1],0,x>X[1]and x<=X[2],P[1],x>X[2]and x<=X[3],P[1]+P[2],x>X[3]and x<=X[4],P[1]+P[2]+P[3],x>X[4]and x<=X[5], P[1]+P[2]+P[3]+P[4],x>X[5],P[1]+P[2]+P[3]+P[4]+P[5]);

> plot(F,x=X[1]-5..X[n]+5);

Найдём математическое ожидание случайной величины X:

> MO:=sum('X[i]*P[i]','i'=1..n);

_MO:=0.9

Найдём дисперсию X:

> Dis:=sum('(X[i])^2*P[i]','i'=1..n)-M^2;

_Dis:=8.69

Задание 2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины. Требуется:

а) найти параметр ;

б) найти функцию распределения случайной величины ;

в) построить графики функции и плотности распределения случайной величины ;

г) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ;

д) найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале.

Варианты заданий

Вариант 1. ,.

Вариант 2. ,.

Вариант 3. ,.

Вариант 4. ,.

Вариант 5. ,.

Вариант 6. ,.

Вариант 7. ,.

Вариант 8. ,.

Вариант 9. ,.

Вариант 10. ,

Вариант 11. ,.

Вариант 12. ,.

Вариант 13. ,.

Вариант 14. ,.

Вариант 15. ,.

Вариант 16. ,.

Вариант 17. ,.

Вариант 18. ,.

Вариант 19. ,.

Вариант 20. ,.

Вариант 21. ,.

Вариант 22. ,.

Вариант 23. ,.

Вариант 24. ,.

Вариант 25. ,.

Вариант 26. ,.

Вариант 27. ,.

Вариант 28. ,.

Вариант 29. ,.

Вариант 30. ,.

Пример выполнения задания 2

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины.

, .

> restart:

Вводим плотность распределения случайной величины :

> p:=x->piecewise(x>=1 and x<=3,c*(x-1)^2,x<1 and x>3,0);

p:=x→piecewise(1≤x and x≤3,c(x-1)²,x<1 and x>3,0)

а) Найдём параметр из уравнения:

>c:=solve(int(p(x),x=-infinity..infinity)=1,c);

c:=3/8

б) Функцию распределения находим по формуле :

>F:=int(p(x),x);

в) Строим графики плотности и функции распределения случайной величины:

>plot(p(x),x=-2..5);

>plot(F,x=-2..5).

г) Найдём математическое ожидание и дисперсию случайной величины по формулам,:

> MO:=int(x*p(x),x=-infinity..infinity);

>DIS:=int(x^2*p(x),x=-infinity..infinity)-MO^2;

д) Найдём вероятность того, что случайная величина примет значение в интервалепо формуле.

>P(2<xi and xi<5):=int(p(x),x=2..5);

Контрольные вопросы

1. Дайте определение случайной величины.

2. Какая с.в. называется дискретной (непрерывной)? Приведите примеры.

3. Что такое закон распределения случайной величины?

4. Что называется рядом распределения дискретной случайной величины?

5. Что такое функция распределения случайной величины? Какими свойствами она обладает?

6. Что называется функцией плотности распределения вероятностей случайной величины? Перечислите её свойства.

7. Чем различаются графики функций распределения дискретной и непрерывной случайных величин?

8. Что называется математическим ожиданием непрерывной и дискретной случайных величин? Что оно характеризует? Какими свойствами оно обладает? Какие ещё числовые характеристики случайных величин вам известны?

9. Дайте определение дисперсии случайной величины, перечислите её свойства. Что она характеризует?

10. Как определяются математическое ожидание и дисперсия для биномиального, равномерного, показательного, нормального распределений?