- •Математика
- •Режим доступа к электронному аналогу печатного издания: http://www.Libdb.Sssu.Ru
- •Содержание
- •Предисловие
- •Лабораторная работа 1
- •Варианты заданий
- •Пример выполнения лабораторной работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 2 Исследование дискретной и непрерывной случайных величин
- •Пример выполнения задания 1
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 3 Линейная регрессия
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 4
- •Рассмотрим три закона распределения, которые часто используются в теории вероятностей.
- •1. Распределение (читается «хи в квадрате»). Пусть n(0, 1), – независимые нормально распределённые с.В. С.В. Называетсяраспределённой по закону со степенью свободыk.
- •2. Распределение Стьюдента т(k). С.В. , гдеU n(0, 1), называется распределённой по закону Стьюдента со степенью свободы k.
- •3. С.В. , где k1, k2 – натуральные числа, называется распределённой по закону Фишера со степенями свободы k1, k2.
- •1 Доверительный интервал для м.О. Нормально распределённой с.В.
- •2 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределённой г.С.
- •Проверка статистических гипотез
- •1. Предварительная обработка реализации выборки
- •F*(X) – статистическая функция распределения; f(X) – функция распределения
- •2. Основные понятия проверки статистических гипотез
- •3. Критерий согласия
- •Лабораторная работа 5
- •Обработка результатов экспериментов, определение точечных оценок числовых характеристик и параметров распределения.
- •Проверка гипотезы о законе распределения
- •Генеральной совокупности по критерию согласия
- •Контрольные вопросы к лабораторным работам 4 и 5
- •Библиографический список
- •Приложение 5 (справочное) Критические точки распределения Стьюдента
- •Приложение 6
- •Учебное издание
Пример выполнения лабораторной работы
Задача 1. Вероятности выигрыша по облигациям займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 взятых облигаций:
а) выиграют ровно 3;
б) выиграют не более 3;
в) выиграют не менее 4.
Решение. а) Так как число облигаций, участвующих в розыгрыше, невелико, воспользуемся формулой Бернулли для решения задачи:
> restart: n:=8;m:=3;p:=0.25;
n:=8
m:=3
p:=0.25
Применим формулу Бернулли:
> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);
P(8,3,0,25):=0,2076416016
б) Искомую вероятность найдём по формуле .
Проводим вычисления.
> P(n,k<=m,p):=sum(n!/(i!*(n-i)!)*p^i*(1-p)^(n-i),i=0..3);
P(8,k≤ 3,0.25)=0.8861846924
в) Вероятность события «выиграют не менее 4» находим как вероятность противоположного события к событию «выиграют не более 3»:
>P(n,k>=m+1,p):=1 – P(n,k<=m,p);
P(8,4≤ k,0.25)=0.1138153076
Задача 2. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено:
а) ровно 4 пары;
б) не более 4 пар;
в) не менее 3 и не более 8 пар.
Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем
> restart: n:=200;m:=4;p:=0.01;
n:=200
m:=4
p:=0.01
По формуле Бернулли:
> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);
P(200,4,0.01):=0.09021970194
По формуле Пуассона:
> P1(n,m,p):=evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!);
P1(200,4,0.01):= 0.09022352212
С использованием локальной теоремы Муавра – Лапласа:
> x:=(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));
x:=1.421338109
> P(n,p,x):=evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2));
P(200,4, 1.421338109):=0.1032514539
Делаем вывод о том, что более точный результат даёт формула Пуассона.
Замечание. При больших и при малых значенияхболее точный результат даёт формула Пуассона, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием этой формулы.
б) Находим искомую вероятность по формуле:
>P(n,k<=4,p):=evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!,i=0..4));
P(200,k≤ 4,0.01):= 0.9473469824
в) Найдём вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено не менее 3 и не более 8 пар. Воспользуемся вновь формулой Пуассона:
> P(n,3<=k,k<=8,p):=evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!,i=3..8));
P(200, 3<=k,k<=8, 0,01):= 0.05241557000
Задача 3. Вероятность того, что случайный покупатель потратит в супермаркете более 500 руб., равна 0,24. Найти вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят:
а) ровно 100 чел.;
б) не более 100 чел.;
в) не менее 85 и не более 125 чел.;
Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем > restart: n:=400;m:=100;p:=0.24;
n:=400
m:=100
p:=0.24
По формуле Бернулли:
> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);
P(400,100,0.24):= 0.04128662045
По формуле Пуассона:
> P1(n,m,p):=evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!);
P1(400,100,0.24):= 0.03671549490
Локальная теорема Муавра – Лапласа:
> x:=(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));
x:=0 .4682929058
> P(n,p,x):=evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2));
P(400,100,0 .4682929058):= 0.04185502868
Делаем вывод о том, что в данной ситуации более точный результат даёт локальная теорема Муавра – Лапласа, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием интегральной теоремы Муавра – Лапласа.
б) Имеем
> m1:=0;m2:=100;
m1:=0
m2:=100
> x1:=(m1-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); x2:=(m2-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));
x1:= -11.23902974
x2:= 0.4682929058
> P(n,m1<=k,k<=m2,p):=evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=x1..x2));
P(400, 0≤k≤100, 0.24)=0 .6802124294
в) Найдём вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят не менее 85 и не более 125 чел.
> m1:=85;m2:=125;
m1:=85
m2:=125
> P(n,m1<=k,k<=m2,p):=evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=x1..x2));
P(400,85≤k≤125,0.24)=0 .9007501711