Рассмотрим три закона распределения, которые часто используются в теории вероятностей.

1. Распределение (читается «хи в квадрате»). Пусть n(0, 1), – независимые нормально распределённые с.В. С.В. Называетсяраспределённой по закону со степенью свободыk.

2. Распределение Стьюдента т(k). С.В. , гдеU n(0, 1), называется распределённой по закону Стьюдента со степенью свободы k.

3. С.В. , где k1, k2 – натуральные числа, называется распределённой по закону Фишера со степенями свободы k1, k2.

Рис. 4. График плотности распределения

В математической статистике важную роль играет понятие квантили. Квантилью порядка  (0<<1) называется такое число x_, что F(x_)= . В случае непрерывно распределённой с.в. с плотностью распределения p(x), F(x_)= P(X<x_) = . Это значит, что квантильx_ – точка на оси х, в которой вертикаль отсекает слева от себя на графике плотности распределения криволинейную трапецию с площадью  (см. рис. 4). Если плотность распределения – чётная функция, т.е. её график симметричен относительно оси у, то x_= – x_{1– } . Квантили введённых выше распределений можно найти в таблицах в учебниках по теории вероятностей и математической статистике, а также в приложении 5.

1 Доверительный интервал для м.О. Нормально распределённой с.В.

1) Пусть г.с. XN(m,) и известна дисперсия ². Воспользуемся тем фактом, что с.в. . Зададим малый уровень значимости 2. Очевидно, что значения с.в. U попадают в интервал (u_, u_{1– }) c вероятностью  =1–2: . Здесьu_– квантиль распределения с.в. U порядка .

Теперь, решив неравенства относительноm, получим . Но так какu_ = – u_{1– }, то . Далее из =1–2 имеем 1– =. Таким образом, окончательно получаем доверительный интервал:

.

2) Пусть г.с. XN(m,) и дисперсия  ² неизвестна. Тогда аналогично, используя точечную оценку S² для дисперсии, получим доверительный интервал:

,

где – квантиль распределения Стьюдента порядкасо степенью свободыn–1, S² – исправленная выборочная дисперсия.

2 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределённой г.С.

Пусть м.о. m неизвестно. Воспользуемся известным фактом, что с.в. имеет распределение . Пусть – квантиль распределения порядка . По определению квантили

.

Решив двойное неравенство в скобках относительно и учитывая, что = 1–2, получим доверительный интервал для дисперсии:

.

Извлекая корень квадратный из этих неравенств, получим доверительный интервал для среднеквадратического отклонения:

.

Проверка статистических гипотез

1. Предварительная обработка реализации выборки

Рассмотрим основные понятия, связанные с реализацией выборки. Пусть имеется реализация выборки объёма n. Если упорядочить значения по возрастанию, то полученная цепочка чисел называется вариационным рядом.

Пусть x_i – элемент вариационного ряда. Тогда число повторений этого элемента в реализации выборки называется частотой выборочного значения x_i и обозначается n_i. Величина называется относительной частотой значения x_i.

Выделим очевидные равенства:

, . (2)

Пусть x₁, x₂, …, x_m – все различные значения вариационного ряда, упорядоченные по возрастанию. Таблица

x1	x2	…	xm
n1	n2	…	nm

называется статистическим рядом. Он в некотором смысле характеризует закон распределения г.с.

Теперь предположим, что объём выборки большой. В этом случае строят так называемый интервальный (или группированный) статистический ряд. Рассмотрим реализацию выборки x₁, x₂, …, x_n объёма n. Выбираем некоторый отрезок I (обычно это либо отрезок [min{x_i}, max{x_i}], либо чуть больший, чем он). Делим отрезок I точками z₀, z₁, …, z_k на равные частичные промежутки ₁=[z₀, z₁[, ₂= [z₁ z₂[, …, _k=[z_k–1 z_k]. Здесь z₀ и z_k – начало и конец отрезка I соответственно. Частотой n_i i-го промежутка _i называется число значений реализации выборки, попавших в _i (i=1,2,…, k). Интервальным статистическим рядом называется таблица

1	2	…	k
n1	n2	…	nk

Проверьте, что для частот и относительных частот выполняются равенства (2).

Статистической (или эмпирической) функцией распределения называется .

Теорема. Если F(x) – функция распределения г.с., то для любого действительного значения x и любого  >0 выполняется равенство:

.

Смысл этой теоремы в том, что при больших объёмах выборки значения статистической функции распределения являются приближёнными значениями функции распределения, т.е. статистическая функция распределения является оценкой неизвестной функции распределения г.с.

Для непрерывно распределённой г.с. наглядную оценку для плотности распределения даёт гистограмма относительных частот.

Гистограмма относительных частот – это ступенчатая фигура, построенная следующим образом. На оси Ох откладываются частичные промежутки ₁,…, _k. Над каждым из них строится прямоугольник с высотой _i / h, где h – длина частичного промежутка. Функция, график которой задаётся гистограммой относительных частот, также называется гистограммой относительных частот.

Вычислим площадь фигуры, «ограниченной» гистограммой.

.

Это аналог свойства нормировки плотности распределения. Оказывается, что гистограмма относительной частоты равна приближённо неизвестной плотности непрерывно распределённой г.с., т.е. гистограмма даёт приближённо представление о виде плотности распределения г.с.

Пример 1. Дан интервальный статистический ряд

(1, 3)	(3, 5)	(5, 7)	(7, 9)	(9, 11)
10	32	20	24	14

Задание. Построить график статистической функции распределения и гистограмму относительных частот. Построить, соответственно, приближённые графики неизвестных функции и плотности распределения г.с.

Объём выборки n = 100. Длина h частичного промежутка равна 2. Относительные частоты равны: ₁=10/100=0.1, ₂=32/100=0.32, ₃=0.2, ₄=0.24, ₅=0.14.

Вычислим значения статистической функции распределения:

На рисунке 5 приведены график статистической функции распределения и приближённо график функции распределения.

Рис. 5. График статистической Рис. 6. График плотности

и теоретической функции распределения:

распределения: р(x) – плотность распределения