Усі книги і методички

предшествующего направления на интервал A и в смене знака для интервала S между изостадиями.

Если сумма интервалов A превышает 2π или если 10 точек подряд оказывается за пределами планшета, расчет сетки закончен и машина останавливается.

На печать выводятся географические координаты φ, λ и картографические прямоугольные координаты х, у точек изостадий, либо только картографические, рассчитанные по формулам

x= p'e(D — DS);

у= p'e (X — XW),

где меридиональные части и долготы даны в радианах.

Глава 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТА ПО ДВУМ РАЗНОСТЯМРАССТОЯНИЙ

§ 39. СУЩНОСТЬ И ХАРАКТЕРИСТИКА СПОСОБА

Определение места по двум разностям расстояний заключается в одновременном измерении двух разностей расстояний между тремя смежными или двумя парами несмежных станций радионавигационных систем.

Из курса аналитической геометрии известно, что изолинией, для которой разность расстояний до двух фиксированных точек остается постоянной, будет гипербола. Таким образом, искомое место находится в точке пересечения двух гипербол, соответствующих измеренным разностям расстояний. По аналогии с другими способами определение места по двум разностям расстояний получило название гиперболической засечки.

Для измерения разностей расстояний используются фазовые, импульсные или импульсно-фазовые радионавигационные системы.

В фазовых системах разность расстояний может быть измерена лишь в пределах одного фазового цикла. Для разрешения многозначности фазовые системы имеют дополнительные устройства или должны работать непрерывно, начиная с точки привязки, координаты которой известны.

Импульсные системы основаны на сравнении времени прохождения радиосигналов и дают абсолютное значение разности расстояний.

При определении места с помощью импульсно-фазовых систем полученная разность времени уточняется измерением разностей фаз, что значительно повышает точность определения места.

Дальности современных разностно-дальномерных (гиперболических) систем достигают 8—10тыс. км, а применение сверхдлинноволнового диапазона позволяет использовать их даже для определения места подводными лодками в подводном положении.

Точность определения места по двум разностям расстояний оценим с помощью общего уравнения для независимых параметров

ωi — позиционный угол между соответствующей парой станций;

Подставив значение угла Θ и градиентов разности расстояний gi в уравнение средней квадратической погрешности, получим

При выполнении высокоточных работ необходимо учитывать не только погрешности измерения разности расстояний, но и погрешности в координатах станций радионавигационных систем. Тогда

где mA, mB, mC, mD — средние квадратические погрешности определения координат соответствующих станций.

Сравнивая уравнения (9.1) и (10.1), нетрудно заметить, что при одной и той же погрешности m измерения навигационного параметра погрешность определения места гиперболической засечкой больше, чем в дальномерной засечке. И все же гиперболические системы широко применяются в гидрографии и навигации. Это объясняется более простым устройством бортовой аппаратуры и возможностью одновременного определения места с помощью одной береговой системы для любого количества судов.

В настоящее время имеются радионавигационные системы, позволяющие измерять разности расстояний с различной точностью и в большом диапазоне дальностей от береговых станций. Следовательно, при вычислении координат места не всегда можно ограничиться применением формул плоской тригонометрии. Часто встречается и необходимость решения задачи на сфере, с учетом сфероидичности Земли. В дальнейшем мы рассмотрим способы определения координат по двум разностям расстояний как в случае допустимости решения на плоскости, так и при необходимости учета сфероидичности Земли.

§ 40. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ТОЧЕК ОПРЕДЕЛЕНИЙ ДЛЯ МАЛЫХ РАССТОЯНИЙ

Пусть разности расстояний S1 — S2 =2r1 на местности соответствует гипербола I, а разности расстояний S3 — S2=2r2— гипербола II (рис. 53).

Рис. 53

Точка, для которой будет иметь место соблюдение обоих условий, находится на пересечении гипербол I и II. Решив совместно уравнения этих двух гипербол, найдем неизвестную нам пару координат определяемой точки.

Для решения задачи воспользуемся общим приемом преобразования полярных координат в прямоугольные. Пусть имеются три опорных пункта 1, 2, 3, базы между парами которых соответственно равны 2с1 2с2, а угол между направлениями баз — В. Точка Р определяется пересечением двух гипербол I и II. Требуется найти прямоугольные координаты этой точки X, Y, если измерены разности расстояний 2r1 и 2r2.

Координаты точки Р могут быть определены, если отыскать предварительно расстояние S2 между точкой Р и опорным пунктом 2, а также дирекционный угол направления 2Р.

Для отыскания величин S2 и Т2Р воспользуемся уравнением гиперболы в полярных координатах с началом координат в ее фокусе

Разделив числитель и знаменатель этого выражения на с и обозначив величину r/с, обратную эксцентриситету гиперболы через t, получим

Обратив внимание на то, что в правой части последнего равенства все величины известны, обозначим

На рис. 53 видно, что V1 + V2 = B, откуда V1 = B — V2. Подставив значение V1 в (10.5), получим cos(В — V2) — ncosV2 = nt2 — t1.

Раскроем cos разности:

cosВ cosV2 + sinB sinV2 — ncosV2 = nt2 — t1; cosV2 (cosB — n) + sinB sinV2 = nt2 — t1.

Разделим правую и левую части на sinВ

Тогда

tgφ cosV2+ sinV2 = (nt2 — t1) cosecB.

Умножив правую и левую части на cosφ, получим:

sinφ cos V2+ cosφ sin V2 = (nt2 — t1) cosecB cosφ; sin (φ + V2) = (nt2 — t1) cosecB cosφ.

Если учесть, что угол φ определяется по формуле (10.6), а все другие величины известны, то, решив уравнение, можно получить значение угла V2, а затем и дирекционное направление среднего расстояния Т2Р по формуле

Контролем правильности вычислений углов Vl и V2 служит сходимость дирекционного направления Т2Р, полученного по формулам (10.7) и (10.8).

Зная углы Vl и V2, по формулам (10.3) вычисляют значение расстояния S2. Располагая значениями S2 и Т2Р по формулам преобразования полярных координат, получим

где X2, Y2 — координаты среднего опорного пункта.

Рассмотренный метод и формулы (10.3) — (10.9) широко используются при вычислении координат с помощью клавишных машин.

Преобразовав уравнение (10.6), содержащее функции tg, ctg и cosec, к виду

сведем всю систему указанных уравнений к виду, удобному для решения с помощью электронных вычислительных машин.

На практике при вычислении координат с помощью ЭВМ используется также метод линий положения, рассмотренный в § 43.

§ 41. РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СЕТОК В ПРОЕКЦИИ ГАУССА

1. Построение по вспомогательным стадиометрическим сеткам Если опорные пункты помещаются на планшете, то в этом случае для построения гиперболических

сеток можно поступать следующим образом. Из фокусов гипербол как из центров вычерчивают системы концентрических окружностей, изменяя их радиусы на заданный интервал разности расстояний, например на 1—2см. Затем отмечают такие точки пересечения изостадий, разность расстояний которых до центров окружностей (фокусов гипербол) будет величиной постоянной. Когда такие точки отмечены, при помощи гибкой линейки или набора лекал их соединяют, получая соответствующие гиперболы.

Если фокусы гипербол находятся вне планшета, то принцип построения гипербол остается, но несколько осложняется построение стадиометрической сетки: эту вспомогательную сетку наносят по точкам способами, изложенными в § 36.

2. Построение сеток по координатам точек гипербол Для построения гиперболической сетки воспользуемся уравнением гиперболы в параметрической

форме:

Задаваясь значениями r, b и t, по формулам (10.10) можно рассчитать сколь угодно большое число точек гиперболы, а соединив эти точки плавной кривой, получить изображение самой гиперболы на планшете:

Остается решить вопрос о том, как выбирать такие значения величин r, b и t.

Прежде всего следует уяснить, какие разности расстояний 2r могут встретиться в пределах планшета. Для этой цели на миллиметровой бумаге составляется схема, на которую нанесены опорные точки, рамка планшета и главные оси гипербол х', у'. За ось х' для каждого семейства гипербол принимаем направление базы, а ось у' перпендикулярна базе и проходит через ее середину. Таким образом, началом координат каждого семейства гипербол является середина базы 0 (рис. 54).

Рис. 54

Координаты точки 0 и дирекционное направление T12 можно рассчитать по известным координатам опорных пунктов 1, 2. На схеме с опорных пунктов 1, 2 проводим прямые R'1, R'2, R"1, R"2 к тем углам рамки планшета, для которых разность расстояний оказывается наибольшей и наименьшей. На нашей схеме максимальной будет разность расстояний у NW угла рамки планшета, а минимальной — у SE угла. Снимаем расстояния R'1, R'2, R"1, R"2 и вычисляем эти разности:

2 r m a x = R'1 — R'2; 2rmin = R"1 — R"2.

Теперь можно с уверенностью сказать, что через планшет проходят такие гиперболы, для которых разность расстояний не больше 2rmax и не меньше 2rmin.

Определим интервалы, через которые необходимо проводить гиперболы. В § 25 было установлено, что основные изолинии на планшете проводятся с таким расчетом, чтобы расстояния между ними находились в

Рис. 56

Пусть даны три опорных пункта (рис. 56), сферические координаты которых А (иА, ωА), В (иВ, ωВ) и С (иС, ωС). В точке К измерены разности расстояний 2r1 и 2r2, которые равны

2r1 = S1 — S2; 2r12 = S3 — S2

Для определения координат точки K (и, ω) обратимся к общему приему преобразования полярных координат. Это значит, что предварительно следует найти полярные координаты S2 и А для точки К.

Действуя путем, аналогичным выводу расчетных уравнений гиперболической засечки при малых расстояниях, получим следующую систему формул:

S01, S02 — известные длины баз в угловой мере;

А1, A2 — азимуты баз ВА и ВС соответственно;

2r1, 2r2 — измеренные разности расстояний в угловой мере.

Располагая азимутом (10.11) и расстоянием (10.12) стороны ВK, получим сферические координаты и, ω точки K из треугольника ВРnК

При необходимости переходят от сферических координат и, ω к сфероидическим φ, λ с помощью таблиц для данного способа проектирования сфероида на шар.

2. Вычисление на ЭВМ Обратимся к тому же приему, который мы использовали для вычисления координат при определении

места по двум расстояниям (§ 37). Выбрав в качестве первого приближения счислимую точку М (φM, λM), составим уравнения линий положения

Решив совместно эти уравнения, получим поправки к счислимым координатам, а затем и координаты определяемой точки по формулам

В данном случае будем полагать, что при определении места измеряются разности расстояний до двух пар несмежных береговых станций. Такое решение в математическом смысле является более общим. Разности расстояний 2ri представляют собой алгебраические разности длин геодезических линий, соединяющих опорные пункты с искомой точкой:

2r1 = S1 — S2;

2r2 = S3 — S4.

Значение разности расстояний 2riM в приближенной точке можно получить, вычислив предварительно расстояния S1M, S2M, S3M а в случае несмежных станций и S4M:

2r1M = S1M — S2M;

2r2M = S3M — S4M.

Значение коэффициентов ai, bi мы уже получили в § 24. Применительно к нашей задаче

аi= — соsAMi + соsАM(i+1); bi = — sinAMi + sinAM(i+1). (10.15)

Для решения уравнений (10.14) необходимо, чтобы свободные члены li были выражены в радианной

мере:

где R — радиус Земли в счислимой точке.

Величины, необходимые для вычисления коэффициентов a», bi, находят, решая уравнения

Длины сторон SiM для вычисления свободных членов li получают по формуле (5.15), а радиус Земли в счислимой точке по формуле

§ 43. РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СЕТОК ДЛЯ СРЕДНИХ И БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЙ

1. Обзор способов построения сеток Для построения гиперболических сеток при больших удалениях от береговых станций разработаны и

практически используются следующие способы:

1)по таблицам,

2)по вспомогательным стадиометрическим сеткам,

3)прямые способы,

4)обратные способы.

Обычно при отсутствии ЭВМ рассчитывают только основные гиперболы (через 6—10см). Последующее сгущение изолиний до интервала 1—2см производят интерполяцией.

Построение гиперболических сеток по таблицам, которые содержат долготы (широты) точек пересечения сферических гипербол с заданными параллелями (меридианами), сводится к выбору широт пересечения гипербол с заданными меридианами или долгот пересечения гипербол с заданными параллелями. Соединив на карте (планшете) ряд точек каждой гиперболы согласной кривой, получим сетку гипербол.

Построение гиперболических сеток по вспомогательным стадиометрическим сеткам рассмотрено в

§ 41.

А. Прямые способы К прямым способам относятся такие, в которых координаты ряда точек на каждой гиперболе

рассчитываются непосредственно по каким-либо формулам, связывающим элементы сферической гиперболы. Наиболее употребительным является способ расчета координат точек пересечения гипербол с

заданными изостадиями. Рассмотрим теоретические предпосылки этого способа.

Пусть заданы сфероидические координаты φ, λ береговых станций А и В радионавигационной системы.

В качестве линий положения всегда выгодно применять такие, чтобы в пределах всей рабочей зоны они пересекались под прямыми углами. Так, для расчета стадиометрической сетки основной линией была стадиометрическая, а нормальной — азимутальная. При расчете гиперболической сетки основной изолинией, естественно, будет гиперболическая, а в качестве нормальной используем эллиптическую (рис. 58).

Рис. 58

Вспоминая, что коэффициенты а, b в уравнениях линий положения — суть производные от функций по широте и долготе, а основная функция в нашем случае представляет разность расстояний, согласно уравнениям (10.15) напишем

a1 = —cosAM1 + cosAM2; b1 = —sinAM1 + sinAM2;

Для нормальной (эллиптической) линии положения получим значение коэффициентов a2, b2 как сумму соответствующих производных

a2 = —cosAM1 — cosAM2; b2 = —sinAM1 — sinAM2;

Точные координаты точек гипербол получим многократным решением уравнений (10.18), пока не будут соблюдены условия Δφ (Δλ)<ε.

Тогда

φ= φM + Δφ; λ = λM + Δλ;

x= e(D — DS); y = e(λ — λW).

Отыскав формулы для вычисления координат текущих точек гипербол, рассмотрим, каким способом нужно составить вычислительную программу, с тем чтобы машина автоматически выполнила все расчеты, необходимые для построения гиперболической сетки на всей площади карты (планшета).

Наметим точку М вблизи от такого угла рамки карты, через который проходит гипербола с заведомо наименьшей разностью расстояний (рис. 59). Координаты этой точки φM, λM введем в память машины.

Рис. 59

По координатам намеченной точки и координатам опорных пунктов 1, 2 решим обратную геодезическую