Усі книги і методички

изолинии по возможно меньшему числу точек.

Будем полагать, что при описанном методе построения изолиний кривая в конечном итоге заменяется ломаной линией путем соединения промежутков между каждой парой точек. Максимальная погрешность такой замены на каждом участке изолинии может быть выражена расстоянием между прямой, стягивающей две точки, и наиболее удаленной от нее точкой кривой. Небольшие отрезки кривой всегда можно представить как окружности определенного радиуса. Значит, задача отыскания погрешности от замены данного участка кривой изолинии через прямую сводится к отысканию расстояния S между дугой и стягивающей ее хордой.

Уклонение S хорды от дуги окружности получают по формуле

В этой формуле под d следует понимать то предельное расстояние между точками на изолинии, при котором отклонение хорды от кривой не превышает допустимой величины SДОП-

При допустимой погрешности построения изолиний SДОП = 0,2мм и R, выраженном в миллиметрах, формула (5.51) принимает вид

В формулах (5.52), (5.53) R представляет собой радиус кривизны изолинии. Для линий равных углов или расстояний это радиус соответствующей окружности. Для других изолиний (гипербол, эллипсов) сами радиусы переменны и вычисляются по сложным формулам. Поэтому на практике к заблаговременному расчету расстояний d между точками изолиний не прибегают, а на основании опыта назначают их не более 5см. При вычислениях сетки с помощью электронных вычислительных машин расстояние между точками изолиний берут в среднем около 4см, а при необходимости и меньше, чтобы обеспечить, точное проведение кривых.

4. Общий метод определения интервалов При вычислении сеток изолиний необходимо уметь задавать приращения функций и аргументов для

перехода от одной изолинии к соседней изолинии и от одной точки к другой точке этой же изолинии. Переход с одной изолинии на другую связан с приращением функции, а переход от одной точки к другой вдоль самой изолинии связан с приращением аргумента. Задача состоит в отыскании способов определения указанных приращений.

Будем называть приращение функции при переходе с одной изолинии на другую интервалом между изолиниями, а приращение аргументов при переходе от одной точки к другой вдоль изолинии — интервалом между точками. Определение обоих интервалов можно осуществлять, пользуясь методом линий положения.

Если обозначить через п допустимое расстояние между изолиниями на планшете, то соответствующее

Пользуясь значениями градиентов, полученными в § 24, перепишем уравнение (5.54) для расчета

В уравнении для сферы через R обозначен радиус Земли, а через α1, α2 — азимуты направлений с определяемой точки на соответствующие опорные пункты.

Для расчета интервала между точками на изолинии вспомним, что линия положения перпендикулярна градиенту. Следовательно, если подобрать такую новую функцию, градиент которой будет перпендикулярен градиенту функции, используемой для построения сетки, то прием расчета интервала между изолиниями окажется пригодным и в данном случае. Для краткости записей условимся называть функции U, по которым рассчитывается сетка, основными, а те функции UH, градиенты которых перпендикулярны градиентам основных, нормальными.

Для всех упоминавшихся сеток изолиний основные и нормальные функции находятся сравнительно легко. Так, при построении стадиометрической сетки основной функцией является расстояние, а нормальной

— направление. Для гиперболической сетки основная функция — разность расстояний, а нормальная — сумма расстояний (эллипс). Для сетки лучей основная функция — направление, а нормальная — расстояние. Наконец, для гониометрической сетки основная функция — горизонтальный угол (вмещающая окружность), а нормальная — направление из центра вмещающей окружности на текущую точку.

Градиенты указанных нормальных функций нам известны. Тогда, обозначив расстояния между точками на изолинии через d, согласно (5.54) можно написать

UH = dgHC (5.55)

Здесь UH — приращение (интервал) нормальной функции; gH — градиент нормальной функции;

С — знаменатель масштаба планшета.

Теперь можно отыскать уравнения для расчета интервалов между точками, подставив в (5.55) значение модулей градиентов соответствующих нормальных функций.

В уравнении (5.56г) через A обозначено приращение прибазового угла, через α — горизонтальный угол, для которого строится изолиния, и через b — расстояние (база) между опорными пунктами.

Для удобства пользования сетками изолиний приращения навигационного параметра между смежными линиями выбирают по возможности постоянными и с таким расчетом, чтобы расстояния между изолиниями на планшете (карте) лежали в установленных пределах (1 - 2см).

5. Контроль построения сеток изолиний При производстве расчетов и особенно в процессе графических построений возникают различные

погрешности, в результате которых изолинии оказываются смещенными на некоторую величину δп относительно истинного положения. При этом случайные погрешности обычно легко обнаруживаются по

отклонению отдельных точек, нарушению закономерного изменения расстояний п между смежными изолиниями или по искажениям формы изолиний.

Отсутствие систематических погрешностей можно установить лишь в результате специального контроля. Сущность контроля состоит в том, что для нескольких точек сетки проверяется соответствие координат, снятых непосредственно с планшета, значению навигационного параметра, надписанному на данной изолинии.

С этой целью по известным координатам опорных пунктов и координатам контрольных точек решают обратную геодезическую задачу и получают соответствующие направления и расстояния. По этим направлениям и расстояниям находят величину навигационного параметра в каждой из контрольных точек. Так, например, для стадиометрической сетки этим параметром будет вычисленное расстояние Si; для гиперболической — разность расстояний до двух опорных пунктов (SB — SA), = 2ri; для гониометрической — разность дирекционных направлений (ТB—TA)i = ai.

Сравним теперь вычисленные значения навигационных параметров (Si, 2ri, аi,) с теми значениями S0, для которых необходимо было вычертить данную изолинию. Если бы изолиния наносилась

Вместо вычисления градиентов g для каждой контрольной точки найдем их значение непосредственно на планшете. В § 24 было показано, что

Снимем расстояние п в миллиметрах по нормали между смежными изолиниями и найдем разность U между значениями навигационного параметра, надписанного на этих же изолиниях. Подставив значение

Сетки изолиний считают пригодными для практического использования, если смещение δn не превышает на отчетных планшетах 0,4мм (для гиперболических сеток 0,6мм), а на рабочих 0,8мм (для гиперболических сеток 1,2мм). При больших смещениях изолиний сетка должна быть переделана.

§26. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТА

1.Погрешности измерений

Впроцессе гидрографических исследований важно не только определять координаты каких-либо точек, но и правильно оценивать их точность. Научной основой оценки точности определения места служат теория вероятностей и математическая статистика. Теоретическое обоснование способов оценки точности, применительно к задачам гидрографии, дается в курсе математической обработки навигационногидрографической информации.

Внастоящем параграфе без доказательств излагаются конкретные приемы оценки точности определения места, дающие гидрографу возможность судить о качестве выполненной им работы.

Любые измерения сопровождаются нежелательными, но, к сожалению, неизбежными погрешностями.

Выделяют три основных класса погрешностей: грубые, систематические и случайные. Измерения с грубыми погрешностями (промахи) должны быть исключены из обработки.

Систематическими, согласно [5], называют погрешности δсл, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайными называют погрешности сл, меняющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины в данной совокупности условий.

Влияние систематических погрешностей в значительной степени устраняется путем специальных исследований и последующего учета в виде поправок. Случайные погрешности не поддаются определению. Следовательно, наряду с оставшимися не выявленными систематическими погрешностями, они определяют степень отличия измеряемых величин от их истинного значения. Стремление к высокой точности измерений и правильной оценке этой точности требует, чтобы на всех этапах гидрографических исследований проводились научно обоснованные приемы выявления погрешностей.

Одна из особенностей определения места в гидрографии состоит в том, что измерения, как правило,

осуществляются в динамике и поэтому не представляется возможным повторно измерять необходимые навигационные параметры. Между тем методы математической статистики позволяют получать надежные оценки погрешностей лишь по результатам большого числа измерений одной и той же величины.

Отмеченное противоречие устраняется с помощью априорных оценок. Смысл априорной оценки состоит в заблаговременном исследовании процесса измерений, производимых соответствующими приборами в различных условиях, для выявления систематических погрешностей и получения оценок случайных погрешностей на основе больших рядов наблюдений. В последующем эти оценки используют для обработки результатов измерений, полученных непосредственно в районе работ.

Недостаток априорной оценки очевиден: статистический материал: получают в иных условиях и он, естественно, не может адекватно представлять реальный процесс измерений. Для ослабления этого недостатка следует использовать любую возможность получения оценок непосредственно в районах гидрографических работ и по мере накопления материалов уточнять априорные оценки.

Следует учитывать и другую особенность использования статистических оценок в гидрографии. Со времен Гаусса полагают, что погрешности измерения геометрических параметров в геодезии, астрономии и других близких науках подчиняются нормальному закону. Такое предположение во многих случаях, вероятно, оправдывается. Например, если источники погрешностей многообразны и ни один из них не оказывает преобладающего влияния. В реальной обстановке подобные условия создаются не всегда.

Другой частый источник отклонений от нормального закона связан с малым числом измерений. В тех случаях, когда ряды измерений заведомо малы и величины дисперсий неизвестны, прибегают к оценке вероятнейших значений с помощью Т-распределения (Стъюдента). Аналогично для оценки средних квадратических уклонений используется распределение χ2 (хи-квадрат).

Погрешностью измерения называют разность между измеренным и истинным значением измеряемой величины. Способы оценки погрешностей измерений детально изучаются в соответствующих курсах. Приведем лишь сводку основных формул, используемых для характеристики погрешностей измерений в гидрографии.

Абсолютная погрешность представляет разность между измеренной величиной UИ и ее истинным

Для оценки точности измерений в гидрографии используют среднюю квадратическую погрешность σ результатов измерений. Статистической оценкой этого показателя при равноточных измерениях служит средняя квадратическая погрешность т, которую получают приемами абсолютной невязки, внутренней сходимости или размаха:

Для устранения систематических погрешностей в результате измерений вводят поправки. При этом часть поправок вводится во все измеренные параметры, а иными исправляются лишь отдельные из них. Поправки, в свою очередь, отягощены случайными погрешностями.

Поэтому полную случайную погрешность измерений Пi

Пi = Иi + СЛi + СЛО

где Иi — случайная погрешность измерений i-го параметра;

СЛi — случайная погрешность поправки, вводимой только в i-й параметр;

СЛО — случайная погрешность поправки, вводимой во все параметры (общая).

Общая погрешность СЛО является случайной по происхождению, но оказывается систематической по характеру влияния на результаты измерений. Подобные погрешности получили название повторяющихся и приводят к зависимости случайных величин.

Среднюю квадратическую оценку полных погрешностей получают по формуле

где mX, mY вычислены по (5.66).

При двух параметрах коэффициент корреляции полных погрешностей может быть определен по формуле

m2

r O (5.74)

[(m12 mO2 )(m22 mO2 )]12

Зависимость п навигационных параметров представляют корреляционной матрицей

или нормированной корреляционной матрицей

В случае зависимых неравноточных измерений вероятнейшее значение параметра вычисляют по формуле

N

CijU i

Aij — определитель матрицы [r] с вычеркнутыми i-й строкой и j-м столбцом; | r | — определитель матрицы [r];

mi, mj — оценки полных средних квадратических ошибок параметров Ui Uj.

Вслучае независимых измерений коэффициенты Сij в формуле (5.78) отличны от нуля только при i = j

иравны соответствующим весам

При небольшом количестве измерений вместо точечных целесообразно использовать интервальные оценки измеренных параметров, определяемые по следующим соотношениям:

Каждому навигационному параметру U тождественна своя линия положения, определяемая в общем виде уравнением (5.26)

Xcosτ + Ysinτ — п = 0.

Если бы навигационные параметры измерялись безошибочно, то соответствующие этим параметрам линии положения проходили бы через действительное место. Однако любые измерения, даже самые тщательные, не лишены погрешностей, под влиянием которых изолинии, а значит, и линии положения будут смещены.

Так, если измерение функции U произведено с погрешностью U, то смещение (погрешность) линии положения n окажется равным

Будем полагать, что систематические погрешности исключены из наблюдений и погрешности U носят случайный характер. Действительные значения случайной погрешности в каждом измерении неизвестны, а поэтому погрешности навигационного параметра оценим средней квадратической погрешностью т.

Очевидно, средняя квадратическая погрешность т1 измерения навигационного параметра будет определять среднее квадратическое смещение ε1 линии положения

По смыслу, заключенному в понятии средней квадратической погрешности, это уравнение показывает, что судно находится где-то в полосе шириной ±ε1, причем вероятность нахождения в ней равна 68,3%. Увеличив полосу в три раза, т.е. заменив среднюю квадратическую погрешность предельной, можно утверждать, что в новой полосе определяемое место находится с вероятностью 99,7 %.

При гидрографических работах определение места производится, как правило, по двум линиям положения, а точка их пересечения принимается за искомое место. По сказанному выше, вторая линия положения, в свою очередь, должна быть заменена полосой ±ε2. Следовательно, место корабля можно принять внутри четырехугольника, образованного границами полос линий положения (рис. 27).

Рис.27

Вероятность совместного события — одновременного нахождения истинного места корабля в пределах обеих полос, т.е. в границах заштрихованного четырехугольника, равна произведению вероятностей каждой полосы Р=P1P2=0,6832=0,466. Если ширину каждой полосы при построении четырехугольника погрешности увеличить до ±2ε, то эта вероятность возрастет до 91%, а если увеличить до ±3ε — до 99%.

Внимательно рассмотрим рис. 27. Под воздействием средней квадратической погрешности ε1 первой линии положения произошло смещение точки Р в точку А вдоль направления второй линии положения, а величину этого смещения можно получить по формуле

вычисленной по индивидуальным погрешностям-векторам).

Векториальная погрешность не является, в сущности, векторной величиной, а представляет систему погрешностей-векторов, действующих в двух противоположных направлениях. Дадим теперь развернутое определение векториальных погрешностей.

Система случайных погрешностей-векторов, действующих в обе стороны вдоль общей прямой и подчиняющихся определенному закону распределения, называется векториальной погрешностью.

Средняя квадратическая погрешность линии п о ложения ε является минимальной среди всех векториальных погрешностей. Мы уже обратили внимание, что действие погрешности ε1 вызывает смещение первой линии положения в точку А (А') вдоль второй линии положения, которое можно

расчете модулей векториальных погрешностей по формуле (5.85а) и указании направления их действия по соответствующим линиям положения.

Векториальные погрешности, действующие по одному и тому же направлению, складываются квадратически. Векториальные погрешности, действующие по разным направлениям, при выявлении их суммарного влияния по одному какому-то направлению складываются квадратически в своих проекциях на это направление.

Если средние квадратические погрешности ε линий положения одинаковы, то это значит, что линии положения равноточны. В противном случае линии положения являются неравноточными. Неравноточные линии положения характеризуют весом р

При равноточных навигационных параметрах mi=mj=m вес рассчитывают по формуле

Если навигационные параметры Ui зависимы, то зависимыми будут и соответствующие линии положения. Коэффициенты корреляции навигационных параметров, вычисляемые по формуле (5.72) или характеризующиеся матрицей [r] (5.76), будут определять в равной степени и корреляцию линий положения.

3. Оценка точности определения места Для оценки точности определения места в гидрографии применяется преимущественно средняя

квадратическая погрешность места М, представляющая радиус круга, в пределах которого находится действительное место корабля. Некоторые задачи нуждаются в более обстоятельных оценках возможного рассеивания координат под влиянием погрешностей измерения навигационных параметров; тогда прибегают к оценке с помощью эллипса погрешностей. Часто требуется знать погрешность полученного места по заданным направлениям; для этой цели используют векториальные погрешности (средние квадратические погрешности по направлению). Приведем расчетные формулы, позволяющие получить все указанные оценки.

При определении места по двум линиям положения координаты (X, Y; φ, λ) получают в результате совместного решения уравнений (5.24). Следовательно, степень точности координат полностью определяется погрешностями поправок Х, Y (Δφ, Δλ), полученных при этом решении.

В общем случае, когда измеренные параметры неравноточны и зависимы, средние квадратические погрешности координат mX, mY, а также среднюю квадратическую погрешность места М получают по формулам:

где Θ — угол пересечения линий положения;

εi — средние квадратические погрешности i-х линий положения;

τi — направление градиентов соответствующих навигационных параметров; r — коэффициент корреляции линий положения;

r — угол между направлениями градиентов.

Вероятность нахождения истинного места в круге радиуса М зависит от соотношения е=b/а полуосей эллипса погрешностей и меняется: от 0,632 до 0,683.

При независимых линиях положения, а также для ориентировочной оценки вычисление средней квадратической погрешности места М производится по формулам

Эллипс, элементы которого получены по формулам (5.90) или (5.91), называется средним квадратическим, или единичным. Вероятность нахождения действительного места в пределах площади такого эллипса составляет Р = 0,393. В эллипсе, полуоси которого удвоены, вероятность возрастает до Р = 0,865, а при утроенных — до Р = 0,989. Эллипс с полуосями в три раза большими, чем у единичного, называют

предельным.

Оценка точности с помощью эллипса погрешностей несет существенно больше информации, чем средняя квадратическая погрешность места М и более точно отражает характер рассеяния мест. Недостатки эллипса погрешностей состоят в трудности сравнительной оценки точности различных мест или способов, в более сложном его изображении и большем объеме вычислений.

При необходимости получить информацию о точности определения .места в каком-либо направлении следует пользоваться средними квадратическими погрешностями по заданному направлению. Средние квадратические погрешности линий положения являются векториальными погрешностями. Применив правило их сложения, получим модуль средней квадратической погрешности Е по любому направлению

где α, β — углы между линиями положения и заданным направлением.

Если известны полуоси эллипса погрешностей, то среднюю квадратическую погрешность Е получают по очевидной формуле

где α — угол между большой полуосью эллипса и заданным направлением.

При оценке точности места с помощью средней квадратической погрешности места М переход к средней квадратической погрешности Е осуществляется по соотношению

§ 27. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТА ПО ТРЕМ И БОЛЕЕ ЛИНИЯМ ПОЛОЖЕНИЯ

1. Равноточные линии положения Рассмотренные выше методы вычисления координат базировались на отыскании точек пересечения

двух изолиний или двух линий положения. В гидрографической практике, когда производится тщательное

предварительное исследование измерительной аппаратуры, а сами измерения осуществляются весьма часто и точно, надежность такого решения не вызывает сомнений. Однако, если определения в силу каких-либо причин становятся редкими, а точность измерений подвержена значительным колебаниям, отчетливо проявляется существенный недостаток использования только двух изолиний (линий положения), а именно: отсутствие гарантий в надежности полученных координат из-за невозможности обнаружения погрешностей измерений и даже промахов. Указанный недостаток можно в значительной мере ослабить, если использовать для определения места не только две необходимые изолинии, но и дополнительные, которые условились называть избыточными.

Действительно, если для определения места получено п линий положения, описываемых уравнениями (5.26), то любую пару из них можно использовать для вычисления координат. Такая пара будет необходимой, тогда как все оставшиеся уравнения окажутся избыточными. Любая пара из п линий положения (п изолиний) даст, очевидно, новую точку пересечения, а значит, и новые координаты. Разброс этих точек может служить критерием точности полученных координат и позволит легко исключить такие измерения, которые содержат грубые погрешности. Кроме того, возникает возможность отыскания наиболее вероятного значения координат при данных условиях измерений, что равноценно повышению точности определения места.

Заранее договоримся, что систематические погрешности в наших измерениях отсутствуют (исключены каким-либо надежным способом) и мы имеем дело лишь со случайными погрешностями измерений.

Рассмотрим поставленную задачу более детально. Пусть известны координаты опорных пунктов и приближенные координаты определяемой точки. В этой точке измерен ряд навигационных параметров. Для упрощения будем полагать сначала, что все измерения равноточны. Каждый навигационный параметр Ui даст свою линию положения. Напишем уравнения таких линий

В связи с тем что результаты измерений навигационных параметров содержат погрешности, ни одна пара не даст решения, удовлетворяющего все уравнения системы (5.95). Геометрически это означает, что все линии положения пересекутся не в одной точке, а образуют так называемую фигуру погрешностей. При трех линиях положения, например, образуется треугольник погрешностей. При п линиях возникает многоугольник с числом точек пересечения N, равным числу сочетаний из п по две

N1 n(n 1) 2

Рис.28

На рис. 28 показан многоугольник погрешностей при четырех линиях положения, в котором число точек пересечения равно шести.

Очевидно, для приведения всех уравнений системы (5.95) в согласие необходимо найти такие поправки υi к результатам измерений, которые сместят изолинии на соответствующие величины ni так, что все они пересекутся в одной точке М. Смещения любой линии положения ni может быть рассчитано по формуле

ni gi

i

Согласную систему уравнений, дающую одну точку пересечения линий положения, можно представить следующим образом: