Усі книги і методички

2. Вычисление координат А. Вычисление на клавишных машинах

Пусть в точке Р измерены два расстояния SA и SB до опорных пунктов А и В соответственно. Исправим эти расстояния поправками S за редукцию и получим расстояния DA, DB на плоскости проекции Гаусса. Координаты опорных пунктов А (ХА, YA), В (ХB, YB) известны, а значит, известно дирекционное направление TAB и длина D стороны АВ.

Для отыскания координат точки Р воспользуемся общим приемом преобразования полярных координат в прямоугольные. Изберем в качестве полюса полярной системы координат пункт В и напишем, пользуясь рис.

44,

XP = XB + DBcosTBP;

YP=YB + DBsinTBP.

Дирекционное направление TBP получим из равенства

TBP = TBA — В.

Угол В отыскивается по формуле (5.6)

Правильность вычисления координат можно проконтролировать, найдя, например, расстояние D'A по полученным координатам точки Р и сравнив его с измеренным значением DA

Б. Вычисление на ЭВМ Обратимся к методу линий положения. Перепишем уравнение стадиометрической линии положения

(5.32)

XcosТM + YsinТM — (S — SM) = 0.

Пусть в точке Р одновременно измерены расстояния SA, SB до опорных пунктов А (ХA, YA); В (ХB, YB). Полагая свое место в приближенной точке М (ХM, YM), решим обратную геодезическую задачу и получим приближенные расстояния DAM, DBM и приближенные дирекционные направления там, ТBM

Исправим измеренные расстояния поправками за редукцию длин на плоскость проекции Гаусса

Образуем разности измеренных и вычисленных расстояний

DA = DA — DAM;

DB = DB — DBM.

Теперь мы располагаем всеми элементами для составления уравнений обеих линий положения

Будем полагать полученные координаты X'P, Y'P приближенными и повторим снова весь цикл вычислений так, что в результате отыщутся новые координаты X"P, Y"P. Подобные расчеты будем повторять до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность вычисленных координат, что определяется величиной поправок X, Y. Если эти поправки окажутся меньше какой-либо наперед заданной величины ε, то дальнейшие расчеты следует прекратить, приняв за окончательные последние координаты.

При наличии избыточных расстояний вычисление координат осуществляется с применением метода наименьших квадратов приемами, изложенными в § 27.

Уравнения (9.7) можно решать также с помощью клавишных машин или даже графически. В первом случае используется обычный прием решения двух уравнений с двумя неизвестными, а во втором на отдельном листе бумаги в крупном масштабе строятся линии положения приемом, изложенным в § 24. Точка пересечения линий положения окажется искомой точкой, а поправки X, Y снимаются относительно начала координат (точка М) в масштабе графика.

§36. РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ СТАДИОМЕТРИЧЕСКИХ СЕТОК В ПРОЕКЦИИ ГАУССА

1.Построение сеток с помощью штангенциркуля

4. Расчет сеток на ЭВМ Применим и для этого случая общий прием: сначала получим значение координат ψ, η точек изостадий

в местной прямоугольной системе координат, а затем преобразуем их в координаты х, у относительно югозападного угла рамки планшета.

При расчете семейства изостадий для пункта 1 можно и целесообразно использовать не пункт 2, в котором расположена вторая станция РНС, а какую-либо произвольную точку, но при условии, что изостадии этой точки пересекаются с изостадиями пункта 1 под углами, близкими к 90°. Аналогично поступают и при расчете точек изостадий для второй станции.

Последовательность операций здесь такая же, как и при расчете гониометрических сеток: сначала по введенным в память машины координатам точки М получают расстояния S1M, S2M; затем, выделяя целую часть

ψ, η по формулам (5.47), а затем х, у по формулам (5.49). Логические операторы, позволяющие в автоматическом режиме получить координаты множества точек, для всех изостадий точно такие же, как и в случае гониометрической сетки. Последовательность расчетов иллюстрирует рис. 47.

Рис. 47

§ 37. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ТОЧЕК ОПРЕДЕЛЕНИЙ ДЛЯ СРЕДНИХ И БОЛЬШИХ РАССТОЯНИИ

1. Редуцирование измеренных расстояний Определение координат судна по двум расстояниям с использованием формул аналитической

геометрии на плоскости, строго говоря, допустимо лишь для малых расстояний, для которых поверхность. Земли можно принимать плоской (формула 5.7). Практически при использовании прямоугольных координат Гаусса и введении необходимых поправок аналитическое решение на плоскости применяется для акваторий, лежащих в одной координатной зоне.

При расстояниях, превышающих указанные пределы, необходимо обратиться к решению задачи на сфере. Для средних расстояний, не превышающих вычисленные по формуле (5.8), можно пользоваться сфероидическими координатами опорных пунктов, принимая их равными сферическим, а для больших расстояний проектировать сфероид на шар одним из способов, рассмотренных в § 23.

В последнем случае необходимо иметь в виду, что применение расстояний, измеренных на поверхности Земли, осложняется искажениями, вносимыми проектированием сфероида на шар. Длина дуги ортодромии на шаре не равна длине соответствующей геодезической линии на сфероиде.

Следовательно, при использовании формул сферической тригонометрии нельзя ограничиваться лишь преобразованием координат. Перед началом решения необходимо, кроме того, редуцировать измеренные расстояния на поверхность шара. Такое редуцирование заключается в учете поправок, связанных со способами проектирования сфероида на шар

SШ = SГ + S.

Например, для проекции сфероида на шар с соответствием по нормалям поправка S вычисляется по формуле (5.9).

Полученные на шаре расстояния переводят в угловую меру по очевидным формулам:

где RH — радиус шара, на который проектируется сфероид.

2. Вычисление координат А. Вычисление на клавишных машинах

Располагая сферическими координатами станций A, В и расстояниями на шаре от определяемой точки М до этих станций, можно определить координаты судна из полярных сферических треугольников АРnМ и ВРnМ (рис. 48). На этом рисунке в качестве известных исходных величин имеем:

Рис. 48

—сферические координаты опорных пунктов А (иА, ωA), В (иB, ωB);

—длину стороны АB = b на сфере и азимуты этой стороны βAB, βBA;

—расстояния σ1 и σ2 от точки М до опорных пунктов A и В на сфере в угловой мере.

Координаты точки М (и, ω) можно получить, если решить прямую геодезическую задачу относительно опорных пунктов А и В, используя для этого расстояния σ1, σ2 и углы α, β. Расстояния σ1 и σ2 нам известны, а углы α и β можно получить, как это видно из рисунка, по формулам

α= βАВ — А;

β= 360° — (βАВ + В).

Азимуты βАВ и βВА известны по условию, а что касается углов А и В, то их можно найти, пользуясь известными элементами сферического треугольника АМВ. Напишем выражение для косинусов сторон σ1 и σ2 в этом треугольнике:

cosσ2 = cosσ1 cosb + sinσ1 sinb cosA; cosσ1 = cosσ2 cosb + sinσ2 sinb cosB;

отсюда:

Теперь из полярных сферических треугольников АРnМ и ВРnМ легко получить сферические координаты точки М (и, ω):

Б. Вычисление на ЭВМ Для решения задач с помощью электронных вычислительных машин целесообразно использовать

изображение сфероида на шаре с соответствием по нормалям, когда соотношения между сферическими и сфероидическими координатами выражаются равенствами

и = φ; ω = λ.

Напишем уравнение двух линий положения

Совместным решением этих уравнений получим

Тогда координаты определяемой точки будут равны

φ= φM + Δφ;

λ= λM + Δλ.

Так же, как и в случае решения задачи на плоскости, вычисление координат φ, λ ведется методом последовательных приближений. Для каждого последующего приближения за счислимые координаты принимаются величины, полученные в предыдущем решении. Вычисления повторяются до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность:

φ(i) — φ(i-1)≤ε; λ(i) — λ(i-1)≤ε.

Коэффициенты уравнений (9.11) представляют собой частные производные расстояний σi по широте и долготе. Из соотношений (5.25) вытекают следующие выражения для частных производных

Коэффициенты li определяются из очевидных равенств

l1 (S1 SMA ) 1 ;

RM

l2 (S2 SMB ) 1 .

RM

где RM — радиус шара в счислимой точке М.

Расстояния SMA (MB) получают из решения обратной геодезической задачи по известным координатам счислимого места и опорных пунктов, например, по формуле (5.12). Для вычисления коэффициентов ai, bi по формулам (9.12) используются соотношения, непосредственно вытекающие из сферических полярных треугольников МРnА и МРnВ (рис. 48):

sinφA = sinφ cosσ1 + cosφ sinσ1cos AMA,

откуда

В соответствии с этими рассуждениями для общего случая можно написать:

§ 38. РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ СТАДИОМЕТРИЧЕСКИХ СЕТОК ДЛЯ СРЕДНИХ И БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЙ

1. Общий прием построения сеток Аналитическое решение задачи определения координат по двум расстояниям на сфере используется в

автоматизированных комплексах, а также при необходимости получить координаты отдельных точек. При съемке обычным набором штатных средств так же, как и при всех иных способах определения места, прокладка точек осуществляется с помощью заранее построенных стадиометрических сеток.

Рассмотрим способы построения таких сеток для случая, когда необходим учет сфероидичности Земли. Осуществим предварительный переход со сфероида на шар и будем решать задачу в сферических координатах.

При больших расстояниях до станции опорные пункты обычно не помещаются на планшете и каждую изостадию можно нанести, лишь рассчитав координаты ряда ее точек. Пусть в некоторой точке измерено расстояние а до радиостанции В и требуется провести на карте изостадию. Это можно сделать, если известны, например, координаты точек 1, 2, 3, 4 этой изостадии (рис. 49).

Рис. 49

Из сферического треугольника ВРn2 можно написать

sinu2— cosσ sinиB + sinσcosиB cosA;

sin sin sin A; cos и2

ω2 = ωВ+Δω.

Координаты станции В (иВ, ωВ) известны, расстоянием а задаемся; азимут А можно снять со вспомогательной схемы так же, как в случае решения на плоскости. Величину А' приращения азимута получим по формуле

A dr p .,

где d — расстояние между соседними точками изостадии на планшете; r — расстояние σ, выраженное в линейной мере, на планшете.

Это простое решение громоздко и практически почти не используется.

2. Построение сеток в проекции Меркатора А. Уравнение циклической кривой

Чаще всего приходится иметь дело с построением стадиометрических сеток на картах в проекции Меркатора. Выведем уравнение изостадий на такой карте, решая задачу на сфере.

Пусть в точке С (иC, ωC) расположена станция радионавигационной системы, расстояние до которой σ. На поверхности сферы изолинией этого расстояния будет сферическая окружность с центром в точке

С (рис. 50).

Рис. 50

Уравнение этой окружности cosσ = sinиС sinи + cos иС cosи cosω.

Дуги CN и CS на земной поверхности равны между собой. В проекции Меркатора эти дуги изобразятся неравными отрезками вследствие изменения масштаба с увеличением широты. По этой же причине центр дуги SN не совпадает с изображением точки С, а будет расположен несколько севернее в точке С'. Все это приведет к тому, что в проекции Меркатора изостадия изобразится не в виде окружности, а в виде так называемой циклической кривой (рис. 51).

Рис. 51

Взависимости от расположения окружностей на сфере по отношению к географическому полюсу различают три рода циклических кривых. К кривым первого рода относятся кривые, расположенные по одну сторону от полюса. Кривые второго рода — это кривые, в которых полюс расположен внутри кривой. Кривые третьего рода образуются в случае, если сама кривая проходит через полюс.

Впрактике приходится иметь дело преимущественно С кривыми первого рода. Для вывода уравнения такой циклической кривой необхо димо преобразовать текущие координаты и, ω в координаты х,

упроекции. Значения х, у для проекции Меркатора на шаре радиуса R = 1 выражаются формулами:

В результате ряда преобразований получают следующее выражение

ch (х — х0) = cosу chа, (9.14)

n, s — меридиональные части самой северной и самой южной точек циклической кривой;

х0 — абсцисса центра циклической кривой.

Равенство (9.14) можно упростить, если текущие координаты циклической кривой отсчитывать относительно новых координатных осей ns и WE с началом в точке С'. Обозначим новые координаты ε и η. Тогда

ε= х — х0;

η= y.

Переписав равенство (9.14) с учетом этих обозначений, окончательно получим уравнение циклической

лежащих на соответствующих изостадиях. Эти точки можно представить как точки пересечения двух изолиний: стадиометрической и азимутальной.

Заменим изолинии линиями положения и вспомним, что стадиометрическая и азимутальная линии взаимно перпендикулярны. Будем искать координаты точек пересечения этих линий по формулам, которые уже использовались при определении места по двум расстояниям:

Принципиальное отличие состоит в том, что здесь используются разнородные линии положения: первая стадиометрическая, а вторая азимутальная.

Для получения коэффициентов а1, b1 и свободного члена l1 стадиометрической линии воспользуемся формулами (9.12):

a1 cos AMA ; b1 sin AMA ;

l1 (S1 SMA ) R1 .

Коэффициенты а2, b2 азимутальной линии получим из свойства ее ортогональности относительно стадиометрической:

a2= — cos(АМА + 90°) = sinАМА; b2= — sin(АМА + 90°) = — cosAMA.

Свободные члены в уравнениях линий положения представляют собой приращения функций, деленные

l2 = (A1 — АAM)sinσ.

Таким образом, для расчета координат точек стадиометрической сетки мы располагаем уравнениями двух взаимно перпендикулярных линий положения:

Остановимся теперь на последовательности решения уравнений (9.17) с помощью ЭВМ.