Усі книги і методички

Xi, Yi, Θi — координаты и время наступления экстремального уровня на уровенных постах 2, 3, ..., п;

X1, Y1, Θ1 — координаты и время наступления экстремального уровня на исходном уровенном посту 1.

Решив систему нормальных уравнений, получим значения проекций градиента g на оси X и Y:

Тогда

глубин получим по формуле (4.74). Поправки времен на уроненных постах определим по (4.75), а моменты tj для расчета поправок на каждом посту по формуле (4.76)

tj = t + ΔΘj.

Последующие расчеты с целью определения поправок ZN могут осуществляться способами среднего взвешенного, многократной плоскостной или сплайновой аппроксимации.

3) Аналитический расчет способом полупериода, или фиктивного поста. Для правильных приливов и при соблюдении общих условий, указанных в п. а), можно было бы получить промежуточные значения f мгновенного уровня путем расчета по известным амплитуде F и периоду Т приливной волны, пользуясь формулами гармонического колебания. Попытки прямого применения этого приема для практических нужд не давали положительных результатов в силу того, что фазы и амплитуды приливных колебаний непрерывно изменяются под влиянием астрономических факторов, а также из-за своеобразного влияния на эти изменения особенностей рельефа и непериодических колебаний. Другими словами, использование средних величин прилива и средних характеристик фазы для этой цели недопустимо. Однако если ограничить временной интервал расчета и для этого интервала определять фактическое значение F и Т, то промежуточные высоты f мгновенного уровня на моменты t могут быть получены с достаточной точностью. Минимальный интервал, позволяющий определить необходимые элементы прилива (F, Т), равен половине периода прилива. Для полусуточных приливов это примерно 6ч, а для суточных 12ч.

Для реализации приема будем фиксировать моменты и высоты смежных

экстремальных уровней: ΘМВ, hMB; ΘПВ, hПВ. Тогда:

где F — амплитуда прилива в выбранном интервале; тпп — средний уровень полуприлива;

Т — величина полупериода в том же интервале.

По величинам F, тпп и Т можно рассчитать высоту мгновенного уровня на любой момент t в интервале между ΘПВ и ΘМВ по формуле

Формула (4.86) позволяет получить высоту мгновенного уровня относительно нуля поста, среднего многолетнего уровня или наинизшего теоретического уровня в зависимости от того, какие отсчеты использовались в качестве исходных для расчета в формулах (4.83), (4.84).

Расчеты по (4.86) при соблюдении общих условий дают результаты, близкие по точности к параболической интерполяции (4.61), и превосходят точность предвычисления высот по гармоническим постоянным [25]. Экстраполяция за пределы интервала ΘПВ-ΘМВ может вызывать значительные ошибки при заметном непостоянстве F и Т и поэтому не должна допускаться более ±1ч.

Достоинство этого приема состоит также в том, что объем исходной информации здесь существенно меньше, чем при параболической и тем более сплайновой интерполяции. Но еще важнее разработать на его базе новый алгоритм расчета поправок zf, использовав принцип передачи элементов прилива по их градиентам [см.

формулы (4.70) - (4.74)].

Пусть в районе работ имеется 3 или более уровенных поста (см. рис. 17), на каждом из которых известны высоты и моменты экстремальных уровней (Θпвi, Θмвi hпвi, hмвi) По этим данным получим величины Fi, mппi, Ti. Для каждой из этих величин, а также для моментов Θпвi по формулам, аналогичным (4.70), (4.71), (4.72), рассчитаем модули и направления соответствующих градиентов.

Зададимся точкой N акватории (фиктивный уровенный пост), для которой необходимо знать высоты мгновенного уровня в промежутке между двумя смежными экстремальными водами. С этой целью согласно формуле (4.73) рассчитаем

производные gΘПВ, gm, gF, gΔT, а затем по (4.74) и сами эти величины: ΘПВN, FN, mППN, -

ΔTN.

Теперь по (4.86) можно для любого момента t получить высоту мгновенного уровня ftN, а значит, и поправку к измеренным глубинам zfN. Пределы действия фиктивного поста и его рабочая зона могут быть рассчитаны способом, изложенным в

§ 20.

При наличии на борту ЭВМ или тем более автоматизированных систем расчет поправок способом полупериода может выполняться практически в реальном масштабе времени не для отдельного фиктивного поста, а для каждой информативной

времени, средств и при наименьшем количестве личного состава.

Большинство из перечисленных требований можно охарактеризовать числом; так, требования к точности определения места задаются обычно допустимой величиной средней квадратической погрешности, частота — расстояниями между точками определений на планшете или карте, дальность действия зависит от размеров обследуемого района.

Конкретные требования к точности определения места зависят от многих факторов и прежде всего от задач и целей данных гидрографических исследований. Как следует из специального доклада о минеральных ресурсах, сделанного в Комитете экономики и социального прогресса при ООН, для освоения Мирового океана точность определения места в 200м может быть вполне допустима, точность в 20м является весьма желательной, а для большинства детальных исследований ее необходимо повысить до нескольких метров. Если эти требования распространить на весь Мировой океан, то в настоящее время удовлетворение их окажется весьма трудной задачей.

Самая высокая точность определения места всегда желательна, она позволяет использовать результаты измерений не только для выполняемых исследований, но и в будущем, когда требования окажутся более жесткими. К сожалению, повышение точности приводит к увеличению сроков работ и к их удорожанию. Поэтому необходимо установить такой допустимый предел погрешностей определения места, который практически не снижает качества съемки.

При выполнении систематических гидрографических исследований допустимые величины средних квадратических погрешностей определения места указываются в руководствах, правилах или в технических предписаниях. Так, например, при детальной съемке рельефа средняя квадратическая погрешность определения места не должна превышать 1,5мм в масштабе планшета. При отсутствии конкретных указаний допустимый предел погрешностей устанавливают, учитывая заданную точность съемки рельефа или возможности средств, используемых для измерения глубин. Погрешность m съемки рельефа, в первом приближении, можно представить следующей формулой:

где mz — средняя квадратическая погрешность измерения глубин; М — средняя квадратическая погрешность определения места;

g — модуль градиента (среднее значение угла наклона дна) в районе съемки. Располагая значениями m, mz, g, решим уравнение относительно М

Впоследующих главах рассматриваются и другие приемы определения допустимой погрешности определения места.

2.Способы и средства определения места

Внастоящее время еще не найден такой универсальный способ определения места и средства для его реализации, которые отвечали бы всем перечисленным выше требованиям и были пригодны повсеместно.

Гидрографическая наука располагает большим арсеналом способов определения координат. Тот или иной способ используется в зависимости от конкретной задачи и обстановки, от требований к точности знания координат, наличия соответствующих измерительных средств и т.д.

Все способы определения места, применяемые в настоящее время при производстве гидрографических исследований, можно условно разделить на четыре группы в зависимости от физических принципов, на которых основаны измерительные средства:

—зрительные;

—радиотехнические;

—астрономические;

—гидроакустические.

При выполнении гидрографических работ в океане, когда определения места не обладают высокой точностью и оказываются редкими, для прокладки промерных галсов используется также счисление пути корабля. В этом случае обязательно учитываются возмущающие факторы (ветер, течения) и тщательно определяются поправки лагов, компасов и других измерительных средств. Способы определения места приемами счисления пути корабля изучаются в навигации и в настоящем учебнике не рассматриваются.

Зрительные способы предполагают наличие видимости для наблюдения опорных пунктов с корабля и основаны на производстве измерений с помощью оптических устройств. В этой группе способов наиболее широко используются прямая, обратная и комбинированная засечки.

Прямая засечка выполняется на исходных пунктах; обычно одновременно измеряются теодолитами два направления с опорных пунктов на корабль.

Обратная засечка выполняется на определяемой точке; она может осуществляться путем

одновременного измерения на корабле секстаном двух углов между опорными пунктами или двух расстояний

—изоазимуты — линии равных значений азимутов;

—дирекционные лучи — линии равных значений дирекционных углов.

Понятно, что, располагая одной изолинией, еще нельзя определить свои координаты, так как любая из бесконечного числа точек, находящихся на данной изолинии, отвечает значению измеренного навигационного параметра. Для получения места необходимо располагать, по крайней мере, двумя изолиниями. Точка пересечения таких изолиний и будет являться искомым местом корабля.

Уравнения изолиний представляют собой функциональные зависимости между текущими координатами и величинами, измеряемыми в процессе определения места. Так, на плоскости положение любой точки может быть однозначно определено двумя координатами X, Y и функциональная зависимость выражается уравнениями типа U=F (X, Y). Наличие двух пересекающихся изолиний позволяет однозначно отыскать неизвестные координаты X, Y путем совместного решения соответствующих уравнений:

Все изолинии, используемые в гидрографии, математически строго описываются уравнениями аналитической геометрии. Отсюда вытекает основное достоинство аналитического метода: в принципе с его помощью можно получить сколь угодно точное значение координат.

Точность решения зависит прежде всего от точности исходных данных и точности измеренных величин. Для того чтобы процесс расчета не вносил дополнительных погрешностей в окончательные результаты, погрешности вычислений должны быть, по крайней мере, на порядок меньше, чем погрешности измерений.

Аналитическое решение задачи по определению координат, как указывалось выше, заключается в вычислении корней системы уравнений (5.1). Трудности такого решения обусловлены тем, что уравнения изолиний, как правило, трансцендентные, чаще всего — тригонометрические. Разработанные к настоящему времени приемы решения таких уравнений можно разделить на две группы: алгебраические и численные.

Алгебраические приемы состоят в том, что систему трансцендентных уравнений путем различных преобразований сводят к системе алгебраических уравнений невысокой степени. Решив такую новую систему по правилам алгебры, получают корни исходной системы уравнений.

Численные приемы позволяют отыскать корни системы, не имея для них явных формул. Если приближенное решение системы уже известно, то его последующее уточнение достигается применением метода последовательных приближений. Большое распространение численные методы получили в последнее время благодаря своей универсальности. Теоретической основой численных приемов служит метод линий положения, рассматриваемый в § 24.

Что касается прямых алгебраических приемов вычисления координат, то они очень часто сопряжены с громоздкими формальными преобразованиями и отличаются большим разнообразием решений; это характеризовало их как неподдающиеся универсализации. Между тем и здесь существует возможность применения однообразного приема преобразования измеренных функций в искомые координаты для всех способов определения места. Таким общим приемом служит преобразование полярной системы координат в прямоугольную [12].

Действительно, выше нам удалось установить, что в процессе определения места непосредственно измеряются только направления и расстояния или их комбинации, но расстояние S и направление Т являются координатами полярной системы. Если обозначить через Х0, Y0 прямоугольные координаты полюса, то переход от полярных координат к прямоугольным на плоскости осуществляется по весьма простым формулам:

При измерении расстояния а и азимута А на сфере переход от полярных к сферическим координатам также не вызывает затруднений. Обозначив координаты полюса через uо, ωо, получим:

Однако в большинстве способов определения места измеряются одноименные навигационные параметры: два расстояния, два угла, две разности расстояний, т.е. в результате измерений получают лишь одну полярную координату.

Очевидно, в этом случае необходимо найти способ преобразования измеренных или известных по условию задачи величин во вторую полярную координату, рационально выбрав точку полюса. Покажем это на примере, когда для определения места в точке Р измерены два расстояния DA и DB до опорных пунктов А и В соответственно (рис. 18).

Рис. 18

Координаты опорных пунктов А (ХА, YA); В (ХB, YB) известны, а значит, известно дирекционное направление стороны TAB и ее длина D. Изберем в качестве полюса полярной системы координат пункт В и напишем уравнения типа (5.2) для этого случая:

В уравнении (5.4) неизвестно лишь дирекционное направление TВР. Из рис. 18 можно написать

В последующих главах при изучении способов определения места уравнения для аналитического решения будут выводиться с применением этого общего метода. Наряду с общим, универсальным приемом применяются другие решения, рекомендованные в инструкциях и методических руководствах. Некоторые из них также излагаются в учебнике.

2. Учет сфероидичности Земли Характер расчетных уравнений определяется необходимой точностью получения координат и

размером участков земной поверхности, в пределах которых осуществляются гидрографические исследования.

Все величины, используемые для определения места, измеряются на геоиде. Между тем геоид является такой фигурой, уравнение которой не может быть написано в конечном виде. Как было указано в гл. 3, вместо геоида применяют математически правильную поверхность — эллипсоид вращения (сфероид).

Строгие расчетные формулы для решения гидрографических задач на сфероиде оказываются весьма громоздкими и сложными. Учитывая, что измерения исходных параметров, как правило, отягощены погрешностями, применение строгих формул не всегда и требуется. Поэтому, в зависимости от необходимой точности координат и погрешностей измерения навигационных параметров, используют, в известной степени, упрощенные формулы.

Небольшие участки земной поверхности в отдельных задачах принимают за плоские и решают задачи по формулам аналитической геометрии на плоскости. Расстояния, при которых Землю можно считать плоской и применять соответствующие приемы для вычисления координат, условимся называть малыми расстояниями.

Предельные малые расстояния S, допускающие подобные упрощения, не вызывая погрешностей более допустимой величины ∆S, можно определить по формуле

Когда искажения за счет решения задач на плоскости становятся больше допустимых, то естественно обратиться к решению на сфере, поскольку шар — фигура более близкая к действительной поверхности Земли. Заменяя земной сфероид шаром, мы пренебрегаем сжатием Земли. Безусловно, и в этом случае возникают определенные погрешности, но если эти погрешности окажутся меньше погрешностей измерений или погрешностей графических построений, то замена сфероида шаром допустима.

В таком случае, зная сфероидические координаты опорных пунктов, а также измерив желаемые навигационные параметры, будем решать задачу на сфере, пользуясь известными формулами сферической тригонометрии.

Расстояния, допускающие замену сфероида шаром, будем называть средними расстояниями. Ориентировочное значение предельной величины средних расстояний S можно получить по формуле

R' — принятый радиус шара;

С —полярный радиус кривизны эллипсоида; е — эксцентриситет эллипсоида;

А — азимут, по которому проложено расстояние S.

Расстояния, при которых неизбежен учет сфероидичности Земли, будем называть большими расстояниями. При решении задач в этом случае используется два приема:

1)проектируют сфероид на шар и получают соответствующие сферические координаты и, ω, оперируя которыми задачи определения места решают по формулам сферической тригонометрии;

2)изображают сфероид на шаре с соответствием по нормалям, полагая сфероидические координаты φ, λ равными сферическим и, ω. На этой основе пользуются уравнениями сферической тригонометрии, но в расстояния и направления вносят поправки за счет пренебрежения сжатием сфероида.

Чаще всего это приходится делать при решении обратной геодезической задачи. Приведем формулы Андуайе-Ламберта, позволяющие вычислять такие поправки с точностью, обеспечивающей решение многих гидрографических задач:

где S — поправка к расстоянию, вычисленному по формулам сферической тригонометрии без учета сфероидичности Земли, м;

A1 — поправка к сферическому азимуту β1 σ — вычисленное расстояние, рад;

a — большая полуось эллипсоида, м; α — первое сжатие эллипсоида;

φ1, φ2— широты конечных точек геодезической линии; β1 — азимут геодезической линии в начальной точке, вычисленный без учета сфероидичности Земли;

β2 — дополнение азимута в конечной точке линии до 360°; S — вычисленное расстояние, км.

Обратная геодезическая задача на сфере решается по следующим формулам сферической тригонометрии:

Для предельных расстояний погрешности вычисления поправок S, A1 по формулам (5.9) и (5.10) могут достигать десятка метров и нескольких минут соответственно. При необходимости более точного решения обратной геодезической задачи используют формулы В. П. Морозова [22]:

§24. МЕТОД ЛИНИЙ ПОЛОЖЕНИЯ

1.Общие понятия о линиях положения

В§ 23 отмечалось, что любому навигационному параметру, как функции координат, соответствует определенная изолиния. В общем случае изолинии представляют собой на местности кривые. Изображение изолиний на картах сопряжено обычно с еще большим усложнением формы кривых, зависящим от свойств картографических проекций. Если известны приближенные координаты корабля, то для отыскания точных координат, соответствующих значениям измеренных функций (навигационных параметров), достаточно рассматривать изолинии лишь в окрестности приближенного места, т.е. в сравнительно малой области. В такой достаточно малой области поверхность сфероида можно заменить плоскостью, изолинию заменить касательной к ней прямой, а соседние изолинии полагать параллельными. Прямые линии, касательные к изолиниям в окрестности определяемой точки, называются линиями положения. Замена изолиний линиями положения позволяет сравнительно просто и единообразно решать задачи, связанные как с определением места корабля, так и с оценкой точности этих определений.

2. Уравнение линии положения

Пусть известно приближенное место корабля М с координатами ХM, YM. Для определения точного места произведены измерения какой-либо функции U. Совершенно очевидно, что изолиния, соответствующая этому значению функции U, должна проходить через точное место Р с координатами X, Y.

В общем виде зависимость измеряемой функции U от координат X, Y можно записать следующим образом: