1.6. Примеры решения задач

Задача 1. По контуру, изображённому на рисунке, идёт ток силой I=10 А Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги ,

Решение

П о принципу суперпозиции поля

Магнитную индукцию, создаваемую дугой AB, найдём путём интегрирования:

Для нахождения магнитной индукции, создаваемой проводником BC, воспользуемся формулой

где

С учётом данных значений

Магнитная индукция В_СА, создаваемая проводником СА в точке О, равна нулю, т. к. для любого элемента Поскольку вектор направлен от наблюдателя, а вектор – к наблюдателю, то результирующая индукция равна

.

Задача 2. Рядом с длинным прямым проводом MN, по которому течёт ток силой I₁, расположена квадратная рамка со стороной b, обтекаемая током силой I₂. Рамка лежит в одной плоскости с проводником MN, так что её сторона, ближайшая к проводу, находится от него на расстоянии a. Определить магнитную силу, действующую на рамку, а также работу этой силы при удалении рамки из магнитного поля.

Решение

Рамка с током находится в неоднородном магнитном поле, создаваемым бесконечно длинным проводником MN:

Каждая сторона рамки будет испытывать действие сил Ампера, направление которых показано на рисунке.

Так как стороны ­­АВ и DC расположены одинаково относительно провода MN, действующие на них силы численно равны и равнодействующая всех сил, приложенных к рамке, равна

F=F₁–F₂ ,

где , a

Окончательно

Работа по удалению рамки из магнитного поля равна

.

Для нахождения магнитного потока через рамку в неоднородном магнитном поле разделим её на узкие полосы шириной dx, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной. Элементарный магнитный поток через полоску, находящуюся на расстоянии x от прямого тока, равен где знак минус обусловлен тем, что B_n=–B.

После интегрирования по x найдём:

.

Окончательно

Задача 3. В центре длинного соленоида, имеющего n=510³ витков на метр, помещена рамка, состоящая из N=50 витков провода площадью S = 4 см². Рамка может вращаться вокруг оси ОО, перпендикулярной оси соленоида. При пропускании тока по рамке и соленоиду, соединённых последовательно, рамка повернулась на угол =60. Oпределить силу тока, если жёсткость пружины, удерживающей рамку в положении равновесия, равна k =610^–5 Н·м / рад.

Решение

При появлении тока рамка установится в таком положении, когда момент сил магнитного поля М уравновесится моментом упругих сил пружины: M=M_упр.

По определению где – магнитный момент, – индукция поля соленоида.

С учётом этих выражений имеем:

Заметим, что вначале, когда тока нет,

Согласно закону Гука

где и, следовательно,

Таким образом, откуда

Задача 4. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индукцией стал двигаться по окружности радиуса Определить магнитный момент эквивалентного

кругового тока.

R

Решение

Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, т. е. В этом случае сила Лоренца сообщит электрону нормальное ускорение

Согласно второму закону Ньютона . Отсюда находим скорость электрона и период его обращения

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току

.

Зная , найдем магнитный момент эквивалентного тока, который вы­ражается соотношением

,

где S=πR² – площадь, ограниченная окружностью, описываемой элек­троном.

Подставим значения и S в формулу магнитного момента, оконча­тельно получим

Убедимся в том, что правая часть равенства даст единицу измерения магнитного момента (Ам²):

Произведем вычисление:

Задача 5. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 10мТл по винтовой линии, радиус которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость υ.