- •Часть II
- •Введение
- •1. Электромагнетизм
- •1.1. Магнитная индукция движущегося заряда. Взаимодействие движущихся зарядов. Сила Лоренца
- •1.2. Закон Био – Савара - Лапласа и его применение к расчёту магнитного поля прямого и кругового токов
- •1.3. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции для магнитного поля. Поле соленоида
- •1.4. Проводник и контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
- •1.5. Магнитное поле в веществе
- •1.5.1. Намагничивание вещества. Вектор намагниченности. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции вектора для магнитного поля в веществе
- •1.5.2. Магнитные моменты электрона и атома. Атом в магнитном поле
- •1.6. Примеры решения задач
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.7. Задачи для контрольных заданий
- •2. Электромагнитная индукция
- •2.1. Законы электромагнитной индукции
- •1. Подвижный контур в стационарном магнитном поле.
- •2. Неподвижный контур в переменном магнитном поле
- •2.2. Явление самоиндукции. Индуктивность соленоида
- •Полный магнитный поток при этом будет
- •2.3. Расчёт токов при замыкании и размыкании цепей с индуктивностью
- •1. Исчезновение тока при размыкании цепи
- •2. Установление тока при замыкании цепи
- •2.4. Взаимная индукция
- •2.5. Энергия магнитного поля
- •2.6. Примеры решения задач
- •Решение
- •Решение
- •2.7. Задачи для контрольных заданий
- •3. Основы теории максвелла для электромагнитного поля
- •4. Колебания и волны
- •4.1. Механические колебания и волны
- •4.1.1. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
- •4.1.2. Энергия гармонического колебания
- •4.1.3. Математический и физический маятники
- •4.1.4. Сложение гармонических колебаний одного направления. Биения
- •4.1.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
- •4.1.6. Затухающие колебания и их характеристики
- •4.1.7. Вынужденные колебания. Резонанс
- •4.1.8. Распространение волн в упругих средах. Уравнение бегущей волны
- •4.1.9 Стоячие волны
- •4.2. Электромагнитные колебания и волны
- •4.2.1. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания
- •4.2.2. Затухающие колебания и их характеристики
- •4.2.3. Вынужденные колебания в контуре. Резонанс
- •4.2.4. Электромагнитные волны
- •4.2.5. Примеры решения задач
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Уравнение результирующего колебания запишется в виде:
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •4.2.6. Задачи для контрольных заданий
- •5. Волновая оптика
- •5.1. Световая волна. Когерентность и монохроматичность световых волн
- •5.2. Интерференция света
- •5.2.1. Условия максимума и минимума интерференции
- •5.2.2. Способы получения когерентных световых волн а) Метод зеркал Френеля
- •Б) Бипризма Френеля
- •5.2.3. Расчет интерференционной картины от двух источников
- •5.2.4. Интерференция в тонких пленках.
- •5.2.5. Полосы равной толщины. Кольца Ньютона
- •5.2.6. Применение интерференции Интерферометры
- •Просветление оптики
- •5.3. Дифракция света
- •5.3.1. Принцип Гюйгенса-Френеля
- •5.3.2. Прямолинейное распространение света. Метод зон Френеля
- •5.3.3. Дифракция Френеля на круглом отверстии
- •5.3.4. Дифракция Френеля на круглом диске
- •5.3.5. Дифракция плоской волны (дифракция Фраунгофера) на узкой щели
- •5.3.6. Дифракция света на решётке
- •5.3.7. Дифракция на пространственной (объёмной) решётке
- •5.4. Поляризация света
- •5.4.1. Естественный свет и различные типы поляризованного света
- •5.4.2. Поляризация при отражении и преломлении
- •5.4.3. Поляризация при двойном лучепреломлении
- •Примеры решения задач
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •5.6. Задачи для контрольных заданий
- •6. Квантовая оптика
- •6.1. Тепловое излучение. Закон Кирхгофа
- •6.2. Спектр и законы излучения абсолютно чёрного тела
- •6.3. Фотоэффект
- •6.4. Масса и импульс фотона. Давление света
- •6.5. Эффект Комптона
- •6.6. Примеры решения задач
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •6.7. Задачи для контрольных заданий
- •7.2. Соотношение неопределенностей
- •7.3. Уравнение Шредингера
- •7.4. Движение свободной частицы
- •7.5. Частица в потенциальной яме
- •7.6. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер
- •7.7. Атом водорода в квантовой механике
- •7.8. Спектр атома водорода
- •7.9. Многоэлектронные атомы. Рентгеновские спектры
- •7.10. Примеры решения задач
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •7.11 Задачи для контрольных заданий
- •8. Основы физики ядра
- •8.1. Основные свойства и строение ядра
- •8.2. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада
- •8.3. Ядерные реакции
- •8.4. Примеры решения задач
- •Решение
- •Решение
- •8.5 Задачи для контрольных заданий
- •П. 1. Скалярное произведение двух векторов
- •П. 1. Векторное произведение двух векторов
- •Приложение 2
- •П. 2. Таблица простейших производных.
- •Приложение 3 Элементы интегрального исчисления Интегрирование – действие обратно дифференцирова- нию
- •Неопределенный интеграл
- •Приложение 4
- •Приложение 5 Некоторые астрономические величины
- •Приложение 6 Основные физические постоянные
- •Приложение 7 Плотности ρ твёрдых тел, жидкостей и газов
- •Приложение 8 Диэлектрическая проницаемость ε
- •Удельное сопротивление ρ и температурный коэффициент α проводимости
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление Введение...………………….............................................................................................3
- •1.7. Задачи для контрольных заданий....…….…………..34
- •3. Основы теории максвелла для
- •5.3.7. Дифракция на пространственной (объёмной)
- •5.4.2. Поляризация при отражении и преломлении…123
- •7. Основы квантовой механики и физики
- •Учебное издание
- •Часть II.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
- •Часть 11
7.4. Движение свободной частицы
При движении свободной частицы (U = 0) ее полная энергия совпадает с кинетической. Для частицы, движущейся вдоль оси Х, стационарное уравнение Шредингера принимает вид
(7.9)
Решением его является функция
, (7.10)
где k =(1/ħ) = Px/ ħ, Px – импульс частицы, A =const. Тогда полную волновую функцию можно записать в виде
, (7.11)
что представляет собой плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся вдоль оси Х. Учитывая, что k =2/, для длины волны получаем =h/P, что совпадает с формулой де Бройля. Таким образом, решение уравнения Шредингера для свободной частицы представляет собой волну де Бройля. Волны де Бройля по физическому смыслу совпадают с волновой функцией и имеют статистическую интерпретацию: их интенсивность пропорциональна плотности вероятности обнаружения частицы.
Энергия свободной частицы E = ħ2k2/(2m) может принимать любые значения, т.е. энергетический спектр её является непрерывным. Вероятность обнаружения частицы не зависит от времени и одинакова в любой точке пространства .
7.5. Частица в потенциальной яме
Р ассмотрим движение микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме длиной l с бесконечно высокими стенками (рис.7.1). Тогда для потенциальной энергии имеем: U = 0 при 0 x l и U = при x < 0 и x > l. Внутри ямы уравне- ние Шредингера имеет вид
,
или
, (7.12)
где k2 = 2mE/ ħ2.
Решение записывается в виде
(x) = A sin(kx) + B cos(kx), (7.13)
где A и B – постоянные, которые определяются из граничных условий.
Вероятность нахождения частицы вне ямы равна нулю, следовательно, волновая функция вне ямы и на ее границах (в силу непрерывности) также равна 0: (0) =(l) = 0. Из первого условия (0) = B получаем B = 0, из второго (l) = A sin(k l)= 0 следует, что k l = n или k = n / l, где n = 1, 2, 3 … (n = 0 соответствует = 0, т.е. отсутствию частицы в яме).
Тогда для собственных значений энергии получаем выражение
, (n = 1, 2, 3 …). (7.14)
Таким образом, энергия и импульс частицы в потенциальной яме могут принимать лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуются (рис.7.1). Минимальное значение энергии равно E = 2ħ2/(2ml2), т.е. частица в яме не может покоиться, что находится в соответствии с соотношениями неопределенности.
Интервал энергии между соседними уровнями составляет
.
Рассмотрим несколько примеров. Для молекул идеального газа (m = 10-26 кг, l = 0,1 м) En = 10-20 n эВ, для свободных электронов в металле (m 10-30 кг, l = 0,1 м) En = 10-16 n эВ, т.е. в этих случаях можно считать, что энергия меняется непрерывно. Для электрона в атоме (m 10-30 кг, l = 10-10 м) En = 102 n эВ. Следовательно, здесь квантование существенно и можно говорить лишь о дискретном спектре энергии.
Относительное расстояние между уровнями En/En 2/n уменьшается с увеличением квантового числа n, уровни располагаются ближе и спектр энергии становится квази- непрерывным.
В этом выражается принцип соответствия Бора: при больших квантовых числах выводы и результаты кванто- вой механики должны соответствовать классическим результатам.
Для определения постоянной A в волновой функции используем условие нормировки:
,
откуда .
Таким образом, собственные функции выражаются формулой
, n = 1, 2, 3… (7.15)
Графики собственных функций и соответствующие плотности вероятности приведены на рис.7.2.
a)
в) Рис.7.2
Из рисунка видно, что в разных квантовых состояниях есть точки, в которых плотность вероятности обнаружения частицы равно нулю. Такое поведение частицы несовместимо с классическими представлениями о траектории движения и равновероятности всех положений частицы.
Из формулы 7.15 и рисунка 7.2 следует, что существуют лишь такие состояния частицы в потенциальной яме, при которых на ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля. Здесь можно провести аналогию с механическими волнами. Для колеблющейся струны или закрытого акустического резонатора возникающие стоячие волны удовлетворяют такому же условию, все остальные волны существовать не могут, они затухают.