4.1.2. Энергия гармонического колебания

С учётом уравнения 4.3, сила действующая на материальную массой m, равна

, (4.5)

где - коэффициент упругости.

Упругая сила является консервативной, поэтому полная энергия механических колебаний остаётся постоянной:

Е = T+П = const.

Кинетическая энергия материальной точки, совершаю- щей прямолинейные гармонические колебания, с учётом уравнения 4.2, равна

(4.6)

или (4.7)

Потенциальная энергия материальной точки, соверша- ющей гармонические колеба- ния под действием упругой силы F, с учётом уравнения 4.5, равна

(4.8)

или

(4.9)

Частота изменения кинетической и потенциаль- ной энергий в два раза превышаетчастоту гармони- ческих колебаний (см. рис.4.2).

Полная механическая энергия колеблющейся систе- мы с учетом уравнений (4.7) и (4.9) равна

.

4.1.3. Математический и физический маятники

Идеализированные системы, в которых колебания возникают за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий и описываются уравнением (4.1), называются гармоническими осцилляторами. Примерами гармонических осцилляторов являются пружинный, физический и математический маятники. Колебания, возникающие в таких системах при отсутствии сил трения, называются собственными гармоническими колебаниями.

Математическим маятником называют идеализи- рованную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (рис.4.3).

При отклонении от положения равновесия на некоторый угол математический маятник начинает совершать свобод- ные колебания. В случае малых колебаний , дифференциальное уравнение колебаний математического маятника имеет вид

, (4.10)

где ; – длина математического маятника; – ускорение свободного падения.

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

, (4.11) где и – постоянные, определяемые начальными условиями возбуждения колебаний.

Таким образом, при малых колебаниях математический маятник колеблется по гармоническому закону. Период колебаний математического маятника равен

. (4.12)

Видно, что период зависит только от длины маятника , ускорения силы тяжести и не зависит от его массы.

Рис.4.3 Рис.4.4

Физический маятник – любое тело, подвешенное в точке, лежащей вне его центра тяжести (рис 4.4).

Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол  от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания. Обозначим через I момент инерции маятника относительно оси О, перпендикулярной плоскости чертежа (рис.4.4). Пусть точка С является центром тяжести. Силу тяжести P = mg можно разложить на две составляющие, одна из которых P₂ уравновешивается реакцией опоры.

Под действием другой составляющей

P₁ = Psin = mg sin α (4.13)

маятник приходит в движение. Из основного закона динамики вращательного движения имеем

I  = - m g l_c sin , (4.14)

где , (4.15)

угловое ускорение, l_c = СО – расстояние от точки подвеса до центра тяжести

Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению отклонения маятника, т.е. стремится вернуть его в положение равновесия. При малых отклонениях можно считать, что sin   , поэтому

Р₁  m g  . (4.16)

Подставив (4.15) и (4.16) в (4.14), получим

. (4.17)

Полученное дифференциальное уравнение является уравнением гармонического колебательного движения. Частота и период колебаний определяются из формул

(4.18)

Величина называется приведённой длиной физического маятника, она численно равна длине математического маятника с периодом колебаний, равным периоду колебаний данного физического маятника.

Таким образом, период и частота колебаний физического маятника определяются выражениями

. (4.19)