7.10. Примеры решения задач

Задача 1. Поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой щелью шириной b= 2мкм. Найти скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на L= 50 см, ширина центрального дифракционного максимума  x = 0,36 мм.

Решение

Согласно гипотезе де Бройля длина волны , соответствующая частице массой m, движущейся со скоростью V, выражается формулой

= h/ mV . (1)

При дифракции на узкой щели ширина центрального дифракционного максимума равна расстоянию между дифракционными минимумами первого порядка. Дифракционные минимумы при дифракции на одной щели наблюдаются при условии

b sin= k , (2)

где k = 1,2,3… - порядковый номер минимумов.

Для минимумов первого порядка (k=1), угол заведомо мал, поэтому sin =  , и, следовательно, формула (2) примет вид

b  =  (3)

ширина центрального максимума

x= 2L tg  = 2L  . (4)

Выражая  из (4) и подставляя его в (3), получаем

 = b x/ 2L. (5)

Искомую скорость электронов найдем из соотношения (1) с учетом формулы (5):

V= h/m = 2 h L/ m b x. (6)

После вычисления по формуле (6) получим V= 10⁶ м/с/

Задача 2. Используя соотношения неопределенностей xp_x  h/ 2 , найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l.

Решение

Из данного соотношения следует, что, чем точнее определяется положение частицы, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Неопределенность координаты электрона  x= l / 2. Тогда соотношение неопределенностей можно записать в виде

l /2  p  h/ 2,

откуда

p  h/  l,

физически разумная неопределенность импульса p, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса, т.е. p  p.

Энергия E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике, есть его кинетическая энергия T, величину которой можно связать с импульсом соотношением

T= p² / 2m .

Заменив p на p, получим

E_min= (h²/2 ²)/(m l²).

Задача 3. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной L. Вычислить вероятность обнаружения электрона на первом энергетическом уровне в интервале L /4, равноудаленном от стенок ямы.

Решение

Вероятность P обнаружить частицу в интервале x₁<x<x₂ определяется равенством

(1)

где (x) – нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальной яме, имеет вид

_n(x)= (2/L)^½ sin(n x/L).

Невозбужденному состоянию (n = 1) отвечает волновая функция

₁(x)= (2/L)^½ sin( x/L). (2)

Подставив ₁(x) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные за знак интеграла, получим

(3) Согласно условию задачи x₁=2L/8 и x₂= 5L/8. Произведя замену

sin²( x/L) = 1 /2 [1 – cos(2 x/L)] ,

получим

Задача 4. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3d – состоянии. Определить изменение механического и магнитного моментов, обусловленных орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.