1. Электромагнетизм

1.1. Магнитная индукция движущегося заряда. Взаимодействие движущихся зарядов. Сила Лоренца

Движущийся заряд создает в окружающем его пространстве помимо электрического еще и магнитное поле, существование которого обусловлено релятивистскими свой-ствами пространства и времени. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции . В результате обобщения экспериментальных данных был получен закон, определяющий индукцию поля точечного заряда, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью

, (1.1)

где - радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения, - магнитная постоянная.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , образуя тройку векторов правой ориентации (рис.1.1). Величина обратно пропорциональна , максимальна в направлении перпенди- кулярном скорости заряда, и равна нулю в направлении, совпадающим с направлением движения заряда. Линии индукции магнитного поля являются замкнутыми окружностями, “нанизанными” на ось, определяемую вектором (рис.1.2).

Рис.1.1

Рис.1.2

Силу взаимодействия двух движущихся электрических зарядов можно разделить на две составляющие – электри- ческую и магнитную. Электрическая составляющая не зависит от движения зарядов и описывается законом Кулона

, (1.2) где - вектор напряженности электрического поля, создавае- мого вторым зарядом. Магнитная составляющая, зависящая от скорости электрического заряда, имеет следующий вид

, (1.3)

где - магнитная индукция, обусловленная зарядом .

Следовательно, полная сила взаимодействия между движущимися зарядами определяется выражением

. (1.4) Обобщая эту формулу, можно считать, что на электрический заряд, движущийся в электрическом и магнитном полях, действует сила

. (1.5) Эту силу называют силой Лоренца.

Выражение для магнитной составляющей силы Лоренца может быть использовано для установления физического смысла и единицы измерения магнитной индукции. Из формулы следует, что индукция B равна силе, которая действует на единичный положительный заряд, движущийся перпендикулярно вектору со скоростью, равной единице:

, . .

Единица измерения магнитной индукции называется Тесла (Тл).

1.2. Закон Био – Савара - Лапласа и его применение к расчёту магнитного поля прямого и кругового токов

Используя выражение (1.1) для индукции поля движу- щегося заряда, выведем формулу для индукции поля элемента тока.

Пусть магнитное поле создается произвольным тонким проводником, по которому течет ток (рис.1.3). Выделим элемент проводника dl. Число носителей тока в данном элементе равно

, (1.6) где n – концентрация носителей, а S – площадь сечения проводника.

Каждый носитель тока создает магнитное поле, индукция которого в некоторой точке А определяется выражением

, (1.7) где - средняя скорость упорядоченного движения носителей тока, - вектор, соединяющий с точкой А.

Поле, создаваемое элементом тока dl, будет равно

. (1.8 )

Приняв во внимание, что

, получим закон Био - Савара – Лапласа

, (1.9)

где - угол между векторами и .

Вектор перпендикулярен плоскости, проходящей через dl и точку A, а его направление определяется правилом правого винта.

Результирующее поле, созданное проводником с током , в соответствии с принципом суперпозиции находится путем интегрирования по всем элементам тока.

Воспользуемся формулой (1.9) для расчета индукции магнитного поля прямого и кругового токов. Пусть поле в некоторой точке А создается током , текущим по тонкому прямому проводнику длиной l (рис.1.4). Все в данной точке имеют одинаковое направление (за чертеж), поэтому сложение векторов можно заменить сложением модулей . (1.10) Учитывая, что , приведем (1.10) к виду, удобному для интегрирования

. Интегрируя в пределах от до , получим

. (1.11)

В частности, для прямого тока бесконечной длины ( ), получим

. (1.12)

Вычислим теперь магнитное поле на оси кругового тока. Вектор , создаваемый элементом тока в произ- вольной точке А, лежащей на оси OX, показан на рис.1.5. Векторы от всех элементов контура будут образовывать симметричный конический веер, поэтому результирующий вектор направлен вдоль оси OX.

Рис.1.5

Так как , (1.13)

то . (1.14) Если учесть, что , то получим окончательно выражение для индукции магнитного поля B на оси кругового тока

. (1.15) В центре витка (x=0)

, (1.16)

а для

. (1.17)

Введя понятие магнитного момента контура с током , (1.18) где S – площадь контура, - положительная нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока правилом правого винта, выражение (1.17) приводится к виду

. (1.19)

Эта формула подобна формуле для напряженности поля электрического диполя на его оси, что дает основание контурный ток называть магнитным диполем. Таким образом, контур с током в магнетизме играет ту же роль, что и электрический диполь в электростатике, а дипольный магнитный момент является аналогом электрического момента .