Лекция №5 Типы вычислительных процессов
Теоретические вопросы:
5.1. Особенности инженерных задач и используемые средства
5.2. Общий подход к решению вычислительных задач
5.3. Оптимизационные расчеты
5.1. Особенности инженерных задач и используемые средства
Приступая к машинному решению инженерных задач, с учетом вышеописанного, конструктор может использовать аналитические, вычислительные, алгоритмические, программные и технические средства. При этом особую роль играет возможность выбора варианта математической формулировки, соответствующих одной и той же содержательной постановке задачи. Различные формулировки обуславливают использование различных численных методов, поэтому наличие и освоенность соответствующего аппарата и его программной реализации может оказаться решающим доводом. Реализация того или иного метода расчета требует в различных затрат машинного времени, что также необходимо принимать во внимание. Кроме того, эффективность различных вычислительных процедур могут определять и те или иные свойства самих математических моделей.
Упрощение формул. Возможности для упрощения весьма разнообразны, их обычно тем больше, чем длиннее формула. Прежде всего, желательно расчленить длинную формулу на последовательность коротких, что может быть сделано и при программировании, но лучше, если расчленение выполнит автор задачи. Выполнить упрощение формул в настоящее время позволяют некоторые специализированные математические пакеты, например MathCAD, символьный процессор MathCAD умеет выполнять основные алгебраические преобразования, такие, как упрощение выражений, разложение их на множители, символьное суммирование и перемножение. Символьный процессор MathCAD стремится так преобразовать выражение, чтобы оно приобрело более простую форму. При этом используются различные арифметические формулы, приведение подобных слагаемых, тригонометрические тождества, пересчет обратных функций и др. Для упрощения выражения при помощи оператора символьного вывода simplify. Кроме возможности упрощения формул, MathCAD имеет так же встроенные средства разложения выражений, разложения на множители, приведение подобных слагаемых, разложение в ряд Тэйлора, разложение на простейшие дроби, матричные разложения (Холесского, QR-разложение, LU-разложение, сингулярное разложение).
Решение уравнений и систем уравнений. Как известно, различают числовые и функциональные уравнения. Решение числового уравнения – это число, решение системы таких уравнений – упорядоченная совокупность чисел, или вектор; нелинейные уравнения и системы могут иметь множество решений. Решение функционального уравнения или системы таких уравнений представляет собой функцию или упорядоченную совокупность функций, т.е. вектор-функцию. К функциональным относятся дифференциальные уравнения – обыкновенные и в частных производных, интегральные и интегро-дифференциальные, а также уравнения с запаздывающим аргументом. В целом, решение функциональных уравнений является более сложным по сравнению с числовыми, хотя для некоторых видов, таких как обыкновенные дифференциальные уравнения с начальными условиями, имеются достаточно простые, универсальные и надежные вычислительные методы и алгоритмы, реализованные в виде стандартных программ. К таким методам и программам можно с уверенностью отнести метод конечных элементов и САПР, предназначенные для анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкции.
5.2. Общий подход к решению вычислительных задач
Трактуя вычислительные задачи с позиций функционального анализа, их представляют в форме прямых или обратных операторных задач. Непосредственное вычисление ответов для той или другой задачи оказывается возможным лишь в относительно простых случаях, так как к этому есть ряд препятствий:
- оператор может быть определен в виде бесконечного процесса, например, интеграла или ряда, который принципиально невозможно осуществить на ЭВМ;
- непосредственное вычисление бывает связано с недопустимым возрастанием погрешностей округления;
- если X и T или один из них является элементом пространства континуальных функций, непосредственное вычисление алгоритма невозможно из-за дискретного принципа работы ЭВМ;
- в случае постановки обратной задачи способ выражения ответа через исходные данные с помощью явных формул или явных алгоритмов может принципиально отсутствовать или же быть неизвестным.
Основной принцип построения численных методов для приближенного решения задачи состоит в заменен пространства S и Q и оператора A или B некоторыми другими пространствами S’ и Q’ и оператором A’ или B’ так, чтобы решение новой задачи оказалось в определенном смысле близкой к решению исходной задачи. При этом разработка конкретных способов замен и оценки возникающих погрешностей является одной из основных проблем численного анализа.
Первый вариант – замена дифференцирования вычислением разделенных разностей.
Второй вариант – аппроксимация функции полиномом относительно переменной и получение приближенной аналитической формулы.
Выбор метода решения при этом основывается, как правило, три основных принципиальных показателя – точность, быстродействие и иногда потребность в памяти ЭВМ.
5.3. Оптимизационные расчеты
Оптимизация – это поиск, нахождение и реализация наиболее целесообразных (оптимальных) решений. Ранее, при ручном счете, оптимизация была практически невозможна и осуществлялась поочередным варьированием одного из параметров при сохранении других постоянными. Такая оптимизация давала лишь частные результаты. Благодаря высокому быстродействию на ЭВМ и большой емкости памяти число возможных вариантов неизмеримо выросло и оптимизация проводится сразу по нескольким критериям и параметрам. Оптимизационные задачи классифицируют по нескольким основным признакам. Набор этих признаков определяет применимость тех или иных методов, алгоритмов и программ. В любой практической оптимизационной задаче существует много совпадающих этапов. Наиболее важным этапом является моделирование рассматриваемой физической ситуации с целью получения математической функции, которую необходимо минимизировать, а так же определения ограничений, если таковые отсутствуют. Затем следует выбрать подходящую процедуру для осуществления минимизации. Эта процедура должна быть реализована на ЭВМ для выполнения большого объема вычислений. И, наконец, математический результат должен быть интерпретирован опять же в терминах физического содержания задачи. Если задача поставлена так, что искомый результат представляет собой одно число или группу чисел, то говорят о задаче параметрической оптимизации. Если же ищется одна или несколько функций, то говорят о задаче оптимального упрощения.
Существенно разнится подход к решению задач при наличии единственного экстремума или нескольких. Во втором случае обычно требуется найти главный из них (так называемый глобальный). Наличие или отсутствие ограничений на искомые переменные относит задачу к области условной или безусловной оптимизации. В свою очередь, линейность или нелинейность целевой функции и/или ограничений обусловливает использование методов линейного или нелинейного программирования. При постановке задачи существенное значение может иметь то, что исходная информация не полностью определена и характеризуется определенными вероятностными свойствами. Такую задачу следует решать методами стохастического программирования. Для оптимального проектирования процесс поиска конструктивных параметров кузнечно-штамповочных машин включает метод оптимизации, ограничения и целевую функцию. Методы параметрической оптимизации можно разделить на две группы: аналитические и численные. На основе аналитических методов строятся методики оптимального проектирования, а численные методы параметрической оптимизации используются при автоматизированном проектировании. К аналитическим методам оптимизации относятся методы дифференциального и вариационного исчисления, а также принцип максимума Понтрягина.
Задачи, которые
решаются с помощью численных методов
параметрической оптимизации, получили
название задач математического
программирования. Структурная схема
процесса параметрической оптимизации
численными методами показана на рис.
6. Значения варьируемых параметров
формируются с помощью соответствующего
метода оптимизации. Самый большой класс
задач математического программирования
образуют задачи нелинейного
программирования, в которых одновременно
или по отдельности целевая функция и
ограничения нелинейны. В зависимости
от типа нелинейности различают несколько
видов задач нелинейного программирования:
выпуклые, сепарабельные, квадратичные,
геометрические.
Рис. 6. Структурная схема процесса параметрической оптимизации численными методами
Задачи, в которых как ограничения, так и целевая функция выражаются случайными функциями, называют задачами стохастического программирования. В некоторых случаях имеется возможность сведения этих задач к задачам нелинейного программирования, используя, например, лишь математические ожидания варьируемых параметров.
Классический подход к задаче нахождения значений x0 и x* (локального и глобального минимума функции) состоит в поиске уравнений, которым они должны удовлетворять.
Вопросы для самоподготовки:
1. Опишите особенности инженерных задач и используемые средства?
2. Охарактеризуйте общий подход к решению вычислительных задач?
3. На чем основаны оптимизационные расчеты?