Лекция №13 Математическое моделирование физических процессов на основе мкэ
Теоретические вопросы:
13.1. Применения метода конечных элементов
13.2. Математические методы моделирования физических процессов
13.3. Решение задач методом конечных элементов
13.1. Применения метода конечных элементов
Впервые метод конечных элементов в инженерной практике был применен в 50-х годах XX века. При этом были предприняты попытки применить матричные методы для дискретных структур к непрерывным структурам путем разбиения их на конечное число элементов.
Метод конечных элементов первоначально появился в строительной механике, но в последующее десятилетие было установлено, что основные понятия метода могут иметь более широкое применение и они начали использоваться в ряде других областей.
В дальнейшем метод конечных элементов развивался весьма интенсивно, и сейчас он широко применяется во многих научных и инженерных приложениях. Хотя существует большое разнообразие в формулировках, метод конечных элементов может быть охарактеризован следующими свойствами:
1) физическая область задачи делится на подобласти, или конечные элементы;
2) зависимая переменная (одна или несколько) аппроксимируется функцией специального вида на каждом конечном элементе, и, следовательно, во всей области. Параметры этих аппроксимаций в последующем становятся неизвестными параметрами задачи;
3) подстановка аппроксимаций в определяющие уравнения (или эквивалентные им) дает систему множества уравнений с неизвестными параметрами. Решая эти уравнения, можно определить значения этих параметров и, следовательно, получить приближенное решение задачи.
Распространение метода конечных элементов на другие задачи в начале 60-х годов XX века было предпринято на основе вариационного подхода. Относительно недавно дополнительно к вариационному методу конечных элементов, который можно назвать классическим, начали использоваться другие методы конечных элементов.
Наиболее известные из них - метод Галеркина, который является частным случаем взвешенного метода невязок, метод наименьших квадратов, процедура, называемая прямым методом, и метод глобального баланса, или метод Одена.
Сегодня метод конечных элементов в настоящее время применяется в следующих областях инженерной деятельности: летальные аппараты, автомобили, суда; стальные и железобетонные мосты; каркасы зданий; влияние землятресений на плотины и дамбы; механика горных пород; пластичность и механика разрушения конструкционных материалов; динамика затопленных конструкций; композитные материалы; вязкие, звуковые и сверхзвуковые течения; звуковая локация; акустические поля; электромагнитные поля; проектирование магнитов; газовая динамика плазмы; потоки в ядерных реакторах; движение ледников; тектонические движения плит; поверхностные и подземные водные потоки; проектирование нефте- и газохранилищ; биомеханика, движение сока в деревьях; распространение загрязнений в морских заливах; поверхностные волны; самовоспламенение; статистика.
13.2 Математические методы моделирования физических процессов
При моделировании физических процессов, связанных с решением дифференциальных уравнений теории упругости и теории поля (тепловые, фильтрационные, диффузионные, деформационные, гидродинамические, электродинамические и т.п. процессы), наиболее часто используют следующие методы численного решения: метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объемов, метод граничных элементов.
Наиболее «сильным» методом, вероятно, следует считать метод граничных элементов (МГЭ), т.к. в своей основной формулировке он предполагает в пределах граничного элемента аппроксимацию распределения искомой функции (например, функции температур) непосредственно по исходному дифференциальному уравнению, которым описывается моделируемый процесс. (В других методах аппроксимация в рамках дискретной ячейки более искусственна.)
Кроме того, при использовании МГЭ происходит понижение пространственного порядка, что теоретически ускоряет решение и снижает требования к ресурсам вычислительной техники. Однако, при моделировании литейных процессов МГЭ практически не используется, т.к. не смотря на свои многие положительные качества требует однородности физических свойств в рамках крупных граничных элементов.
Это не соответствует физике большинства литейных процессов связанных с существенным изменением параметров процесса в локальных произвольных областях – например, при тепловыделении при затвердевании.
Метод конечных объемов (МКО) в определенном смысле является развитием разностных методов, хотя иногда рассматривается как некоторая промежуточная стадия между методом конечных разностей (МКР) и методом конечных элементов (МКЭ). Это вероятно не совсем справедливо, т.к. хотя МКО и учитывает произвольно ориентированные границы внутри разностной ячейки, но в основе своей предполагает ортогональную разностную разбивку (дискретизацию) на прямоугольные параллелепипеды и обладает рядом других особенностей присущих разностным методам. Во всяком случае, МКО пока не получил при моделировании литейных процессов широкого распространения. (Кроме, пожалуй, задачи заполнения, где применение МКЭ затруднено, а МКР не дает необходимого соответствия по геометрии заполняемой полости.)
Неширокое распространение МКО вероятно связано именно с «промежуточным» характером метода - в тех случаях, когда необходимы произвольно ориентированные границы, лучше использовать собственно МКЭ, а когда допустимо представление геометрии в виде набора параллелепипедов, то проще решать задачу классическим МКР.
13.3. Решение задач методом конечных элементов
При расчете методом конечных элементов предполагается, что граничные условия не изменяются в процессе нагружения ни по величине, ни по направлению, а жесткость не зависит от деформаций.
На первом этапе расчета выполняется дискретизация объема, занимаемого телом, на элементарные области: для объемного тела – на тетраэдры с гранями, аппроксимируемыми линейными или параболическими функциями координат; для поверхностных моделей – плоскими и криволинейными треугольниками.
Эти области именуются конечными элементами (КЭ). Помимо этого при подготовке конечно-элементной модели могут использоваться следующие типы элементов (см. табл. 12).
Таблица 11
Типы конечных элементов
№ |
Описание |
1 |
Плоский треугольный элемент |
2 |
Плоский изопараметрический четырехугольник |
3 |
Осесимметричный треугольный элемент |
4 |
Пластинчатый треугольный элемент |
5 |
Пластинчатый прямоугольный элемент |
6 |
Объемный элемент |
При этом каждый из типов КЭ может реализовываться по-разному: так, объемные КЭ, как правило, встречаются в виде тетраэдров и шестигранников, оболочечные бывают треугольными и четырехсторонними, плоскими и криволинейными и т.д. Но общим остается одно: расчет может существовать только тогда, когда КЭ сетка построена.
Построение КЭ сетки называется дискретизацией. В вершинах (для линейных КЭ), а также около середин сторон (для параболических) располагаются узлы. В узлах задаются либо вычисляются перемещения или усилия. Для пространственных КЭ степенями свободы являются перемещения в направлении осей некоторой системы координат – будем предполагать, что она общая для всех узлов в теле. Для конечных элементов оболочек к трем перемещениям добавляются по три угла поворота нормали к срединной поверхности в каждом узле относительно тех же осей.
В пределах каждого элемента перемещение аппроксимируются линейной (элемент первого порядка) или параболической (элемент второго порядка) функциями. Этими же функциями для изопараметрических элементов аппроксимируются и форма конечных элементов.
Уже сама идеализация,
приводящая исходную конструкцию к
совокупности конечных элементов,
связанных между собой лишь в узловых
точках требует, чтобы напряженное
состояние в каждом из конечных элементов
однозначно определялось через значения
узловых перемещений
.
Связь между конечными элементами
вызывает в узловых точках реактивные
усилия взаимодействия
.
Каждый из конечных элементов оказывается
нагруженным этими усилиями. Между
узловыми усилиями
и узловыми перемещениями
существует определенная связь:
,
(13.1)
где , - векторы-столбцы узловых усилий и перемещений;
-
матрица жесткости, определяющая упругие
свойства рассматриваемого элемента.
В результате наложения граничных условий (кинематических – перемещений, статических – усилий) тело деформируется. Если нагрузки распределенные, то они должны приводится к сосредоточенным.
Во избежание перемещения системы как абсолютно жесткого тела необходимо ввести определенное число кинематических закреплений в отдельных ее узлах. В общем случае число таких закреплений, которые позволяют исключить поступательное и вращательное движение как жесткого тела, равно шести. Напряжения определяются по формуле (), которая с учетом () перепишется в виде:
(13.2)
где
-
матрица напряжений, зависящая от
координат рассматриваемой точки и
упругих характеристик материала. В
формулы для расчета компонентов матрицы
жесткости конечных элементов входят
модули упругости и коэффициенты Пуассона
материалов.
Для каждого
конечного элемента вычисляется матрица
жесткости. Произведение матрицы
жесткости на столбец перемещений в
узлах элемента дает столбец усилий в
узлах. Матрица жесткости полностью
определяет жесткостные свойства
рассматриваемого конечного элемента.
Имея матрицы жесткости для отдельных
элементов, можно получить общую или
глобальную матрицу жесткости
рассматриваемой области следующим
образом:
(13.3)
где
-
матрица связи номеров степеней свободы
при общей (для всей области) и местной
(для данного i-го элемента) системах
координат;
-
матрица жесткости i-го элемента.
Матрица квадратная, порядок ее равен NxN, где N – количество неизвестных перемещений системы.
Глобальная матрица жесткости - «разреженная», т.е. имеет подавляющее количество заведомо нулевых элементов, большинство которых в процессе решения остаются нулевыми. В связи с этой и рядом других особенностей подобной матрицы для обработки ее используются специальные методы.
Система уравнений решается с вычислением столбца перемещений {q}. Полученное решение соответствует минимуму потенциальной энергии деформированной упругой системы.
Для каждого конечного элемента при наличии перемещений (углов поворота) в узлах и аппроксимирующей функции рассчитываются деформации. Если элементы линейные, то деформации в пределах элементов постоянные; если элементы параболические, деформации изменяются линейно. На основе деформаций вычисляются напряжения в элементах. При необходимости напряжения в узлах сложных элементов усредняются с последующим пересчетом напряжений в пределах каждого элемента.
Рассмотренный выше метод предполагал малые смещения элементов конструкции. В реальных задачах присутствуют нелинейные эффекты, обусловленные как геометрией (большие смещения, большие вращения и контакты), так и свойствами материалов (трение, линейная упругость, пластичность, ползучесть и т.д.). В таких случаях удобно применять разбиение внешних условий (смещения, объемные и поверхностные силы) на малые части и решать задачу в несколько этапов. На каждом этапе условия берутся с множителем l таким, что 0 < l1 < l2 < … < ln < 1, и нелинейная задача записывается в виде ситемы
,
(13.4)
которая решается последовательными линейными приближениями.
На основе компонент напряженно-деформированного состояния и параметров прочности материала (материалов) производится вычисление эквивалентных напряжений по какому-либо критерию прочности. Современные программные средства анализа напряженно-деформированных состояний конструкций (НДС) методом КЭ позволяют оценивать прочность изделий с использованием как минимум четырех критериев прочности:
максимальных эквивалентных напряжений по Мизесу;
максимальных касательных напряжений;
Мора-Кулона;
максимальных нормальных напряжений.
Критерий Мизеса
(критерий энергии формоизменения)
определяет начало исчерпания несущей
способности конструкции сравнением
величины эквивалентного напряжения с
пределом текучести материала.
Эквивалентное напряжение
в
некоторой точке тела рассчитывается
по формуле:
,
(13.5)
где
- главные напряжения. При этом эквивалентное
напряжение не зависит от ориентации
площадки, на которой оно действует,
т.е. является инвариантным.
Критерий Мизеса применяется для изотропных материалов, имеющих вязкий характер разрушения. К таким материалам относятся большинство металлов и пластмассы, т.е. те материалы, у которых помимо вязкого разрушения четко прослеживается линейный участок на диаграмме деформирования.
Критерий максимальных касательных напряжений заключается в сравнении величины максимального касательного напряжения в данной точке относительно некоторой величины, задаваемой конструктором
(13.6)
При чистом растяжении/сжатии оценки прочности по Мизесу и по максимальным касательным напряжениям тождественны.
Отношение величины прочности (предела текучести, предела прочности и т.д.) к удвоенному максимальному, в пределах детали, касательному напряжению называют коэффициентом запаса
(13.7)
Величина ½ используется исходя из предположения, что для хрупких материалов прочность при растяжении в два раза больше прочности при чистом сдвиге.
Критерий Мора-Кулона (критерий внутреннего трения) определяет состояние хрупких материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. Но поскольку хрупкие материалы не имеют на кривой деформирования выраженного участка текучести, то величина предела текучести (Yield Stress) не участвует в расчете.
Критерий максимальных нормальных напряжений предназначен для хрупких материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.
Если удается ряд расчетных критериев привести к одному объединенному, то он рассматривается как функция цели. Оптимизацией называется процедура минимизации целевой функции. Наиболее часто в механике машин и конструкций в качестве параметров оптимизации принимаются вес, габаритные размеры, стоимость и т. д. Иногда задачу оптимизации приходится решать с ограничениями, т. е. выполнять ряд дополнительных условий. Очевидно, что конструкция, полученная посредством оптимизации, является наилучшей, а сам процесс оптимизации является необходимым инструментом создания конкурентоспособных машин.
Вопросы для самоподготовки:
1. Для решения каких задач проектирования кузнечно-штамповочных машин возможно применение метода конечных элементов?
2. Охарактеризуйте современные математические методы моделирования физических процессов?
3. Опишите этапы решения задач проектирования кузнечно-штамповочных машин методом конечных элементов?