4.6. Основное уравнение конвективного процесса

Коэффициент теплоотдачи α оказывает, в большинстве случаев решающее влияние на результаты теплового расчета. Коэффициент теплоотдачи дает общую количественную оценку интенсивности теплоотдачи при таких сложных физических явлениях, как конвекция и излучение, в том числе при их совместном действии.

Конвективный процесс переноса теплоты, происходящий в подвижной среде, можно описать следующими дифференциальными уравнениями: движения, энергии и неразрывности.

Уравнение движения

Уравнение движения, или уравнение Навье – Стокса, выводится через баланс количества движения в единице объема, занимающего фиксированное положение в движущейся жидкости.

Скорость прироста количества движения равна сумме сил, действующих на объем, и скорости поступления дополнительного количества движения за счет конвективного переноса. Пренебрегая сжимаемостью газа получаем уравнение Навье – Стокса в более простом виде

, (4.70)

где – оператор полной или субстационной производной;

– оператор Гамильтона;

– оператор Лапласа;

ρ – плотность жидкости; р – давление; ν – кинематическая вязкость; f – ускорение силы тяжести.

Уравнение энергии

Это уравнение отражает баланс тепловой энергии в фиксированной единице объема. Уравнение энергии для движущейся среды, в случае, когда можно пренебречь выделением или поглощением теплоты (р₀ = 0) имеет вид

, (4.71)

где – коэффициент теплопроводности; λ – коэффициент теплопроводности;

с – теплоемкость среды; ρ – плотность среды.

Уравнение неразрывности

Это уравнение выражает закон сохранения массы в движущемся потоке при условии, что ни в какой точке пространства не происходит накопления вещества или возникновения пустот (разрывов)

. (4.72)

Рассмотренные уравнения составляют систему, представляющую математическую основу для анализа и расчета конвективного процесса теплопереноса.

Очевидно, что непосредственное решение этих уравнений в общем виде чрезвычайно затруднительно и возможно для простейших случаев и при дополнительных допущениях.

Важной областью практического использования рассмотренной математической модели является теоретическое обоснование метода физического подобия, на основе которого выполняются анализ и обобщение опытных данных по конвективному теплообмену, разрабатываются программы экспериментальных исследований и способы обработки их результатов.

ПОНЯТИЕ О ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

При протекании потока жидкости в трубах и каналах или при внешнем обтекании тел в непосредственной близости от твердой поверхности образуется особая зона – пограничный слой, играющий важную роль в процессе конвективного теплообмена.

Рис. 4.8. Изменение динамического пограничного слоя на пластине

Скорость потока в точке, находящейся на поверхности стенки, равна нулю. Тормозящее действие поверхности на поток распространяется на некоторое расстояние δ от поверхности вследствие вязкого трения в жидкости.

Зона торможения потока называется динамическим пограничным слоем. (рис. 4.8)

Основная часть потока за пределами пограничного слоя называется ядром потока или внешним потоком.

В динамическом пограничном слое происходит резкое изменение продольной составляющей скорости w_х от нуля на стенке почти до максимума w_∞ на его границе с внешним потоком. Граница слоя проводится условно, поскольку скорость w_х приближается к w_∞ асимптотически.

Свойства пограничного слоя и его роль

в конвективном теплообмене

Из опытов известно, что толщина слоя δ нарастает по мере продвижения вдоль оси Х. Начальный участок динамического пограничного слоя характеризуется ламинарным режимом течения, который по мере увеличения толщины δ теряет устойчивость и при некотором критическом значении Х_к переходит в турбулентный.

Переход происходит при числах Рейнольдса Rе = 10⁴ ÷ 4 · 10⁶.

В турбулентном пограничном слое в непосредственной близости от поверхности стенки можно выделить особый вязкий или ламинарный подслой толщиной δ_л, обусловленный малой скоростью w_х у стенки.

Ламинарный пограничный слой можно рассматривать как плоскую стенку с малым коэффициентом теплопроводности λ, в котором происходит основной перепад температуры между поверхностью твердого тела и ядром потока. Ядро, наоборот ведет себя аналогично телу с очень большим λ, за счет чего температура в нем выравнивается.

При таком максимально упрощенном подходе зависимость между плотностью теплового потока р и разностью температур стенка – жидкость выражается с помощью закона Фурье.

. (4.73)

С другой стороны, на основании формулы Ньютона – Рихмана

. (4.74)

Таким образом, коэффициент теплоотдачи α можно выразить через толщину пограничного слоя _ПС и коэффициент теплопроводности неподвижной среды _ИС.

. (4.75)

Тепловой пограничный слой

В отличие от идеализированной картины реальный процесс теплопередачи происходит при участии конвективных явлений в теплопереносе уже в пределах пограничного слоя, и в постепенном уменьшении производной по мере удаления от стенки. Область изменения температуры называется тепловым пограничным слоем, толщина которого Δ в общем случае отличается от толщины δ динамического пограничного слоя. Т.е. предыдущая формула в принципе остается справедливой

. (4.76)

Определение коэффициента теплоотдачи через критериальные зависимости. Если принять – характерный линейный размер тела, например длина пластины в направлении Х, то относительная толщина динамического и теплового пограничных слоев имеет порядок

, , (4.77)

где , ; (4.78)

; (4.79)

, (4.80)

где ν – кинематическая вязкость; а – коэффициент теплопроводности.

Для капельных жидкостей Pr>1, Δ<δ, т.е. тепловой пограничный слой лежит в пределах динамического слоя.

Для газов Pr<1, причем для воздуха при нормальных условиях Pr ≈ 0,7 следовательно, Δ/δ ~ 1,2

; (4.81)

. (4.82)

Последняя формула называется критериальной формулой конвективного теплообмена. Постоянные С, m, n определяются опытным путем либо с помощью теоретического анализа дифференциальных уравнений конвекции.

ЕСТЕСТВЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ

Естественная конвекция используется в устройствах без вращающихся частей (трансформаторах), при теплоотдаче корпусов закрытых не обдуваемых машин, при остывании машин в неподвижном состоянии в промежутках между периодами работы.

Если машина не имеет вентилятора, то ее внутренние части охлаждаются все же не естественным путем, а за счет вынужденной конвекции благодаря вращению ротора или якоря.

Критериальное уравнение теплоотдачи

естественной конвекции

Расчет коэффициента теплоотдачи выполняется по уравнению

. (4.83)

С помощью универсального критериального уравнения, предположенного М.А. Михеевым

. (4.84)

Параметры среды берутся при средней температуре пограничного слоя _ср, причем в качестве температуры принимается температура среды на достаточном удалении от поверхности.

Критерий Грасгофа рассчитывается через табличные коэффициенты

. (4.85)

За определяющий размер l принимается: для вертикальной поверхности любой формы – размер по вертикали; для горизонтального цилиндра или шара – диаметр; для горизонтальной поверхности – меньший из размеров площадки.

Коэффициент к_ в формуле – определяется по уравнению

, (4.86)

где Pr и Pr_n – критерий Пранотеля соответственно при температуре жидкости υ_ж и температуре поверхности υ_п.

Для воздуха, как и для других газов, обычно к_υ ≈ 1 в виду слабого изменения Pr от температуры.

Параметры формулы (4.85) берутся из таблицы 4.1. в зависимости от режима течения, определяемого величиной произведения (Gr ∙ Pr)

Коэффициент теплоотдачи можно выразить из (4.85)

, (4.87)

где А_к – коэффициент, зависящий только от определяющей температуры и режима конвекции

. (4.88)

Таблица 4.1

Значения произведения Gr ∙ Pr	Коэффициенты		Режим теплоотдачи
	С	n
<10-3	0,5	0	Теплопроводность в неподвижной среде (пленочный режим)
10-3 ÷ 5∙102	1,18	1/8	Теплопроводность при слабом ламинарном течении
5∙102÷2∙107	0,54	1/4	Ламинарный режим
2∙107÷1013	0,135	1/3	Турбулентный режим

При естественном воздушном охлаждении коэффициенты А₀, А₁, А₂, А₃ для соответствующих четырех режимов, указанных в табл. 4.1, приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

υср, 0С	А0	А1	А2	А3
0 40 80 120 160	1,18 1,32 1,46 1,60 1,72	0,29 0,30 0,31 0,32 0,326	1,39 1,33 1,28 1,24 1,20	1,66 1,50 1,39 1,29 1,205

Формулы для отдельных режимов имеют следующий вид:

пленочный режим

; (4.89)

слабое ламинарное течение

; (4.90)

ламинарный режим

; (4.91)

турбулентный режим

, (4.92)

где – характерный линейный размер в метрах.

Таким образом, можно не определять вид режима по (Gr · Pr), а рассчитать α_к по формулам.

Лучистый теплообмен

Излучение – это процесс переноса энергии посредством электромагнитных волн от излучающего тела к телам, расположенным в окружающем пространстве. Тепловая энергия переносится в наибольшей степени инфракрасными лучами с длинной волны λ = 0,8 ÷ 40 мкМ (для видимого света λ = 0,4 ÷ 0,8 мкМ)

Интенсивность излучения тела зависит от его физической природы, состояния поверхности и температуры нагрева. При обычных рабочих температурах электрических машин за счет излучения отводится количество теплоты, сравнимое с теплоотводом естественной конвекцией в воздухе. Излучение может быть основным средством охлаждения при отсутствии конвекции (условия вакуума или невесомости без принудительного охлаждения).

Основные свойства излучения

Свойства инфракрасного излучения аналогичны свойствам светового: прямолинейное распространение, способность поглощаться, отражаться или преломляться при встрече с какими либо телами. Поглощенная лучистая энергия превращается в тепловую, которая может повысить температуру тела и усилить его собственное излучение.

После ряда отражений, преломлении, поглощении вся энергия излучения полностью распределяется между окружающими телами, превращаясь в тепловую.

Каждое тело непрерывно излучает и поглощает лучистую энергию, в результате чего осуществляется процесс лучистого теплообмена.

У тела с большей температурой по сравнению с окружающими телами излучение энергии преобладает над поглощением и наоборот.

Общее количество лучистой энергии Q, проходящей в единицу времени через какую – либо поверхность S, называется лучистым потоком.

Лучистый поток имеет размерность мощности, как и тепловой поток.

Поверхностная плотность излучения или удельный лучистый поток – это мощность излучения с единицы поверхности по всем направлениям

. (4.93)

Тело, полностью поглощающее падающую на его поверхность энергию, называется абсолютным черным телом.

Закон Стефана – Больцмана устанавливает для абсолютно черного тела связь между поверхностной плотностью собственного излучения и абсолютной температурой тела Т

, (4.94)

где σ₀ = 5,673 · 10^-8 Вт/(м² · к⁴) – постоянная Стефана-Больцмана.

Более удобная форма

. (4.95)

В общем случае собственное излучение тела равно собственному излучению абсолютно черного тела при такой же температуре, умноженному на поглощательную способность или на степень черноты рассматриваемого тела. Абсолютно черное тело, для которого ε = 1, обладает свойством излучать при данной температуре наибольшее количество теплоты по сравнению с иными телами при прочих равных условиях.

Следствием из данного правила и закона Стефана –Больцмана является формула излучения серого тела (тела, спектр излучения которого подобен спектру абсолютно черного тела)

. (4.96)

Результирующий КОЭФФИЦИЕНТ

ТЕПЛООТДАЧИ

По аналогии с конвективной теплоотдачей можно ввести понятие о коэффициенте теплоотдачи излучением α_л.

, (4.97)

где , (4.98)

где – коэффициент, учитывающий влияние температуры на КТО согласно закону Стефана- Больцмана.

; (4.99)

₁ и ₂ – температура соответственно теплоотдающей поверхности и охлаждающей среды.

Теплоотдача в газовой среде происходит одновременно конвекцией и излучением. Оба эти процесса не влияют друг на друга, поэтому результирующий КТО равен сумме КТО конвекции и излучения:

. (4.100)

При естественном воздушном охлаждении корпуса электрической машины можно использовать формулу

(4.101)

Коэффициент теплоотдачи излучением не учитывается при вынужденном охлаждении и при внутреннем охлаждении в каналах электрических машин.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Определить температуру в средней части плоской стенки ( ) при заданных граничных условиях 1^го и 2^го рода (рис. 1) при следующих данных: толщина стенки  = 0,3 м; коэффициент теплопроводности  = 7 Вт/(м K); удельная мощность равномерно распределенных источников теплоты q₀ = 1300 Вт/м³; внешний тепловой поток р₁ = 200 Вт/м²; температура на границе стенки ₂ = 20 С.

Решение

, ,

,

С.

Задача 2. По условию задачи 1 определить температуру в средней части плоской стенки при заданных граничных условиях 1^го рода ₁ = 36,9 С, ₂ = 20,0 С.

Решение

Вопросы для самоКОНТРОЛЯ

1. Дайте характеристику основных видов теплообмена.

2. Приведите формулу Ньютона – Рихмана и объясните ее физический смысл.

3. В чем состоит сущность закона теплопроводности Фурье?

4. В чем заключаются граничные условия краевой задачи теплопроводности?

5. Какой характер имеет распределение температуры в плоской стенке с распределенными источниками теплоты и без них?

6. От чего зависят тепловые сопротивления теплопроводности и теплоотдачи?