2.3. Основные понятия и уравнения гидростатики

На жидкость, находящуюся в равновесии, действуют внешние силы, которые подразделяют на массовые и поверхностные.

Массовые (объёмные) силы – это силы, приложенные частицами, заполняющими некоторый объём (силы собственной тяжести, силы инерции и т.п.).

Поверхностные силы – это силы, действующие на поверхность выделенного объёма (давление твёрдого тела на обтекающую его жидкость, атмосферное давление и др.).

Гидростатическое давление

Жидкое тело ограниченного объёма разделим на две части, одну из которых мысленно отбросим и заменим её действие поверхностной силой F (рис.2.5).

Рис. 2.5. К определению гидростатического давления

Среднее значение давления на единицу площади

. (2.31)

Гидростатическим давлением называется

. (2.32)

Гидростатическое давление обладает следующими свойствами:

1) всегда направлено по нормали к площадке, на которую действует;

2) всегда действует одинаково по всем направлениям;

3) в точке зависит от её координат в пространстве.

Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим основной случай равновесия жидкости, когда на неё действует лишь одна массовая сила – сила тяжести.

Рис. 2.6. Распределение давления в сосуде с жидкостью

и силы уравновешивающие элементарный объём жидкости в точке А

;

где

–ρgdh = dp, (2.33)

. (2.34)

Таким образом, давление внутри жидкости возрастает в направлении активной силы так, что его приращение на единицу длины равно произведению плотности на активную силу.

Если ось z направлена снизу вверх, т.е. противоположно силе тяжести. Поэтому

, (2.35)

где γ – удельный вес жидкости.

Интегрируя получим следующее выражение

.

Для нахождения постоянной с используем дополнительные условия

При z = z₀, p = p₀

отсюда

.

Подставляя с в уравнение (2.26) получаем

p – p₀ = - γ (z – z₀), (2.36)

p = p₀ – γ (z - z₀) = p₀ + γ (z₀ – z) = p₀ + γh. (2.37)

Из (2.36) для 2-х точек одного и того же объёма жидкости с координатами z₀ и z получим

Z + (2.38)

Основное уравнение гидростатики

Z + (2.39)

Часто внешнее давление равно атмосферному (р₀ = р_ат)

В инженерных расчётах атмосферное давление

р_ат = 1.013 ∙ 10⁵ Па = 1.013 бар = 760 мм. рт. ст. 1Па = 1Н/м².

Избыточное, или манометрическое давление определяется как разность между полным и атмосферным давлением: р_м = р – р_ат или

р_м = р₀ + γh - p_ат. (2.40)

Если р₀ = р_ат то манометрическое давление

р_м = γh, (2.41)

т.е. глубина погружения h любой точки жидкости характеризует манометрическое давление в ней. Из 2.30 следует, что манометрическое давление равно весу столба жидкости высотой h, приходящегося на единицу площади.

ГИДРОСТАТИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС

Формула для силы давления на горизонтальную стенку

, (2.42)

показывает, что суммарное давление на плоскую фигуру определяется лишь глубиной погружения центра тяжести и площадью самой фигуры, но не зависит от формы того сосуда, в котором находится жидкость. Поэтому, если взять ряд сосудов, различных по форме, но имеющих одинаковую площадь дна _г и разные уровни жидкости Н, то во всех этих сосудах суммарное давление на дно будет одинаковым (рис. 2.7). Гидростатическое давление обусловлено в данном случае силой тяжести, но вес жидкости в сосудах разный.

Возникает вопрос: как же различный вес может создать одинаковое давление на дно? В этом кажущемся противоречии и состоит так называемый гидростатический парадокс. Раскрытие парадокса заключается в том, что сила веса жидкости действует в действительности не только на дно, но еще и на другие стенки сосуда.

В случае расширяющегося вверх сосуда, очевидно, что вес жидкости больше силы, действующей на дно.

Рис. 2.7. Гидростатический парадокс

Однако в данном случае часть силы веса действует на наклонные стенки. Эта часть есть вес тела давления.

В случае сужающегося вверх сосуда достаточно вспомнить, что вес тела давления G в этом случае отрицателен и действует на сосуд вверх.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Определить высоту столба воды, который удерживается атмосферным давлением.

Решение

В соответствии с уравнением р + ρgh = p₀ получаем р = р₀ - ρgh = 0, откуда

.

Принимая р_ат = 1.013 ∙ 10⁵ Па, а плотность воды  =1000 кг/м³, получаем

м.

Задача. Определить силу давления на дно бака масляного трансформатора, в соответствии с рис. 2.6. Трансформаторное масло имеет плотность  = 844 кг/м³. Атмосферное давление принять Р₀ = 0,1 МПа

Решение

1. Площадь дна бака трансформатора

м²

2. Сила давления

Н