Сопротивление жидкости при турбулентном движении

Сопротивление жидкости при турбулентном движении в связи с чрезвычайной сложностью этого движения недостаточно изучено теоретически.

Закон сопротивления гладких труб в турбулентном режиме дал В. Блазиус.

Формально этот закон записывается точно так же, как и сформулированный выше закон Пуазейля для ламинарного движения

, (2.132)

где коэффициент трения

(2.133)

Однако, перепады давления при турбулентном движении зависят от скорости в значительно большей степени (близкой ко второй) чем при ламинарном.

Если трубы не гладкие, а имеют на своих внутренних стенках выступы (такие трубы называются шероховатыми), то характер зависимости сопротивления от скорости или числа Рейнольдса существенно меняется. Для оценки шероховатости пользуются величиной, называемой относительной шероховатостью

, (2.134)

где Δ – абсолютный размер типичного выступа.

Коэффициент трения λ_тр определяется как функция двух независимых переменных

(2.135)

Эти зависимости представлены в справочной литературе.

Теорема количества движения

Теорема количества движения является весьма важной теоремой в механике жидкости. Она оказывается полезной в тех случаях, когда уравнения движения в исследуемой области не могут быть составлены или проинтегрированы, но бывает достаточно определить движение жидкости в некоторых исходном и конечном состояниях.

Таким образом, эта теорема позволяет судить о движении без исследования механизма движения.

Теорема формулируется следующим образом:

Отнесённое к единице времени изменение количества движения системы раздельных материальных точек равно сумме сил, действующих на эту систему извне

, (2.136)

где – сумма сил, с которыми на элементы системы действуют элементы, не принадлежащие к системе.

Потери давления при внезапном расширении потока

Рассмотрим расчёт потерь давления при внезапном расширении канала на основе теоремы количества движения.

Рис. 2.21. Внезапное расширение потока

На рис. 2.21 контрольная поверхность (штриховой контур) показана в широком сечении канала таким образом, что через цилиндрическую часть поверхности, прилегающую к стенкам канала, перенос количества движения отсутствует. Следовательно, необходимо учесть изменение количества движения применительно к двум площадям контрольной поверхности S₁и S₂

, (2.137)

где  масса жидкости m = ρQΔt; Q – расход жидкости (Q = WS, где S – площадь живого сечения).

Отсюда

. (2.138)

Далее исходное уравнение принимает вид

(2.139)

В соответствии с уравнением неразрывности потока

W₁S₁ = W₂S₂, (2.140)

имеем

. (2.141)

На основе (2.130) получаем

(2.142)

и с учётом (2.132) имеем

(2.143)

(2.144)

Таким образом, уравнение (2.135) даёт искомую разность давлений в сечениях S₁ и S₂.

Определим теперь разность давлений в сечениях S₁ и S₂, но для случая, когда необратимые потери давления ΔР отсутствуют (плавное расширение) т.е. когда действительно уравнение Бернулли

(2.145)

Отсюда необратимые потери давления ΔР будут определяться разностью давлений δр и δр₀

или (2.146)

Следовательно, может быть определён коэффициент местного сопротивления расширения /8/

(2.147)

В соответствии с уравнением неразрывности имеем W₁/W₂ = S₂/S₁

(2.148)

Интересно отметить, что по формуле Вейсбаха

, (2.149)

где W – средняя скорость потока до местного гидравлического сопротивления.

Поэтому выражение принимает иной, чем /8/ вид.

(2.150)

Из уравнений (2.147), (2.148), (2.149) следует, что расчётная величина коэффициента ξ_р зависит от того по какой средней скорости W определяются потери давления. Если в соответствии с рис. 2.21

, (2.151)

то - рассчитывается по формуле 2.139

(2.152)

Если , то - рассчитывается по формуле 2.141

(2.153)

При расчёте электрических машин обычно применяется формула (2.141) и уравнение Вейсбаха.

Потери давления при сужении канала,

движении через отверстияи решётки, при плавном

изменении сечения и поворотах

Применение теоремы количества движения позволяет определить потери давления при движении струй с внезапным сужением канала (рис. 2.14).

Необратимые потери давления

, (2.154)

где S₁ – большее сечение, S₂ – меньшее.

Коэффициент местного сопротивления сужения

(2.155)

Очевидно, что при входе в канал весьма малого сечения = 0,5.

При слиянии нескольких струй можно считать

, (2.156)

где S_i – сечение данной ветви до слияния.

В случае движения струй через отверстие в стенке, т.е. из одного помещения в другое, в силу искривления линий тока полезно используется лишь часть сечения отверстия.

Отношение площади узкого сечения потока в отверстии к площади отверстия называется коэффициентом заполнения сечения.

(2.157)

ε = 0,6 + 0,4 (2.158)

В приведённых формулах S₁ и S₃ - площадь сечения перед отверстием и после него;S₂ – площадь самого отверстия.

Представляет интерес сопротивление решёток и сеток, установленных в каналах

(2.159)

где S₂ – живое сечение решётки.

Коэффициент сопротивления диффузора

(2.160)

Коэффициент сопротивления поворота струи может быть определён из графика (рис3). Для α = 90⁰

(2.161)

гидравлическое сопротивление электрической машины

В электрических машинах при движении охлаждающих сред проявляются все виды рассмотренных выше гидравлических сопротивлений. Пути движения охлаждающих сред могут быть достаточно сложными.

Составление эквивалентной гидравлической схемы

электрической машины

Двигаясь в канале, струя жидкости или газа преодолевает гидравлические сопротивления различного вида. Эти сопротивления можно считать соединёнными последовательно и параллельно.

По аналогии с электрической цепью аэродинамические и гидравлические тракты принять изображать в виде сопротивлений, соединённых между собой отрезками каналов, не имеющих сопротивления.

Рассмотрим порядок составления эквивалентной гидравлической схемы (ЭГС) на примере машины постоянного тока средней мощности без аксиальных каналов в якоре. (Рис.)

Для построения ЭГС и ЭАС используется чертёж электрической машины (при использовании САПР ЭМ в этом нет необходимости). На чертёж продольного и поперечного разрезов машины накладывают лист прозрачной бумаги (кальки) и набрасывают мягким карандашом линии воздушных струй и контуры тракта охлаждения, которые показывают пути движения воздуха со всевозможными плавными и резкими сужениями, разделением на параллельные струй, слиянием нескольких струй, поворотом и т.д.

По полученной картине воздушных струй в машине строится ЭАС Рис. (аналогично и ЭГС), а по данным поперечных сечений каналов выполняется расчёт аэродинамических сопротивлений отдельных участков воздухопровода и далее по ЭАС определяется результирующее аэродинамическое сопротивление.

Поскольку сечение канала в общем случае переменно, то при заданном значении расхода Q скорость среды оказывается так – же переменной.

Потери давления на преодоление, какого – либо гидравлического сопротивления вычисляется с помощью коэффициента гидравлического сопротивления как доля динамического давления

(2.162)

Чтобы исключить из расчёта переменную скорость движения потери давления можно выразить как функцию неизменной для данного канала величины расхода Q

(2.163)

где z_i – гидравлическое сопротивление, соответствующее коэффициенту местного сопротивления участка

, (2.164)

где S_i - площадь меньшего сечения.

Следовательно, гидравлическое сопротивления для внезапного расширения

(2.165)

для внезапного сужения

(2.166)

Выражение (2.163), устанавливающее связь между падения давления ΔР на гидравлическом сопротивлении Z и расходом Q, называют законом Адкинсона. Это выражение аналогично закону Ома для электрической цепи. Однако ЭГС или ЭАС необходимо рассматривать как нелинейную электрическую цепь. Только в этом смысле для её расчета можно применять методы расчета, разработанные для электрических цепей.

Последовательное соединение сопротивлений

Смысл рассмотрения обобщенных элементов конструкции ЭМ, имеющих разное сопротивление, заключается в выработке некоторых общих положений расчёта и в анализе связей между теоретическими соотношениями и практическими инженерными расчётами машин.

Для всей цепи последовательно соединенных каналов имеем

. (2.167)

Поскольку потери давления на каждом участке

, (2.168)

применение обобщенного уравнения Бернулли дает

, (2.169)

где n – число участков.

Следовательно

(2.170)

или . (2.171)

Таким образом, при последовательном соединении сопротивлений суммарное сопротивление схемы замещения определяется, как для электрической цепи.

Параллельное соединение сопротивлений

При разветвлении струи, т.е. при параллельном соединении сопротивлений, в силу нелинейности закона , суммарное сопротивление схемы замещения отличается от сопротивления аналогичной электрической цепи.

Из уравнения неразрывности для канала следует, что расход после слияния должен быть равен расходу до разветвления, т.е. общий расход составляется как сумма расходов в ответвлениях

.(2.172)

Т.к. давление перед разветвлением или после него может иметь только одно значение, разность давлений на параллельных участках есть величина постоянная

. (2.163)

Но

,(2.173)

откуда

. (2.174)

Тогда в соответствии с (11) получим

.(2.175)

В то же время для всей цепи

. (2.176)

Следовательно

(2.177)

или

. (2.178)

ЗАДАЧИ

Задача 1. Вода с температурой _в = 90 С протекает по горизонтально расположенному трубопроводу переменного сечения при давлении Р₁ = 60 кПа и расходе Q₁ = 5 м³/с. Определить закипит ли вода в узкой части трубопровода при известных сечениях S₁ = 1 м² и S₂ = 0,5 м². Фазовая диаграмма воды представлена на рисунке 2.4.

Решение

В соответствии с уравнением Бернулли определяем давление в трубе меньшего сечения

где ,

Па

P₂ = 0,0225 МПа

Давление насыщенного пара при температуре  = 90 С Р = 0,1 МПа

т.к. Р₂ < P то вода будет кипеть.

Задача 2. Вода протекает по трубопроводу диаметром 1,3 м и длиной l = 500 м при расходе жидкости Q = 0,01 м³/с, затем подача воды увеличивается и расход жидкости возрастает в 6 раз (Q₂ = 0,06 м³/с). Определить гидравлическое сопротивление трубопровода.

Решение

1. Площадь сечения трубопровода

,

м².

2. Определяем среднюю скорость воды в трубопроводе при заданных расходах жидкости

, м/с,

, м/с.

3. Определяем число Рейнольдса

,

, .

Т.к. критическое число Рейнольдса Re_кр = 2300 то в первом случае течение жидкости ламинарное, а во втором турбулентное.

4. Коэффициенты гидравлического трения

Полученные результаты показываю, что в первом случае необходимо воспользоваться формулой Пуазейля

а во втором случае формулой Блазиуса

5. Гидравлические сопротивления

Нс²/м⁸

Нс²/м⁸

Вопросы для самоКОНТРОЛЯ

1. Чем отличаются физические свойства капельной и газообразной жидкостей?

2. Каков физический смысл коэффициента вязкости и как он изменяется при изменении температуры капельных и газообразных жидкостей?

3. Дать характеристику гидравлических элементов потока жидкости.

4. Какие режимы течения жидкостей существуют и как они определяются?

5. Назовите основные причины потерь давления при движении жидкости в каналах.

6. Каков физический смысл коэффициента гидравлического трения?

7. В чем состоит сущность электрогидравлической аналогии?

8. Каков порядок составления ЭГС электрической машины и ее расчета?