4.2. Основной закон теплопроводности.

Формулировка уравнения теплопроводности

Основной закон теплопроводности, сформулированный Фурье в итоге анализа экспериментальных данных, устанавливает количественную связь между тепловым потоком Р и разностью температур Δυ в 2^х точках тела:

Количество переданной теплоты пропорционально градиенту температуры, времени и площади сечения F

, (4.6)

где Р – тепловой поток; Q – количество тепла, протекающее в единицу времени по направлению к нормали элемента поверхности dF (Q, Дж, Втּс; t, с; Р, Вт).

Следовательно, сформулированный выше закон (или гипотеза) Фурье выразится следующим образом

, Вт. (4.7)

В электрических машинах представляет интерес тепловой поток, отнесённый к единице поверхности

, . (4.8)

Коэффициент пропорциональности λ называется теплопроводностью и является эмпирической константой. В анизотропных телах эта константа зависит от направления.

Если оси системы координат расположить так, чтобы их направления совпали с направлением осей анизотропии, то уравнение (3.8) можно записать в виде:

, (4.9)

где λ_x и λ_y – теплопроводности в направлении осей X и Y.

Уравнения (3.9) являются отправными при исследованиях тепловых явлений.

Формулировка уравнения теплопроводности

На основе уравнений

, (4.10)

вектор удельного теплового потока можно представить следующим образом

. (4.11)

Для определения источников или стоков векторного поля необходимо найти

, (4.12)

где λ – постоянная, не зависящая от направления.

Следовательно

, (4.13)

Если λ зависит от направления, то

, (4.14)

Из размерности трех слагаемых последнего выражения в скобках видно, что оно даёт нам меру производительности источников тепла

.

Если рассматриваемая область не содержит внутренних источников тепла, то получим

– уравнение Лапласа. (4.15)

Если в рассматриваемой области содержатся внутренние источники тепла, то

– уравнение Пуассона. (4.16)

Функция всегда должна иметь такой вид, что её вторые производные тождественно удовлетворяют соотношениям (4.15 - 4.16).

Функций такого рода имеется бесконечно много. Однозначное определение функций возможно только при определённых дополнительных условиях (например, при заданной температуре в определённом месте пространства). Эти дополнительные условия называют краевыми.

Если распределение температуры в теле не является стационарным, то применимо общее уравнение теплопроводности

, (4.17)

где a – коэффициент теплопроводности

, ;

где λ – теплопроводность, ; С – удельная теплоемкость, ; γ – плотность вещества, .

Наиболее строгими методами анализа тепловых процессов в электрических машинах являются методы, основанные на решении уравнений (4.24, 4.25, 4.26) при заданных граничных условиях.

4.3. Начальные и граничные условия для уравнения теплопроводности

Расчет температурного поля в твердом теле определенной геометрической формы или в системе тем путем интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности можно выполнить только при задании условий однозначности. Эти условия включают в себя: граничные условия или пространственные краевые условия, определяющие характер тепловых связей рассматриваемого тела с соседними телами и средами; в случае расчета нестационарного поля – начальные условия (временные краевые условия).

Дифференциальное уравнение теплопроводности с краевыми условиями и заданными значениями параметров составляют краевую задачу.

Существуют четыре рода граничных условий (ГУ)

ГУ первого рода.

Задается температура на поверхности тела (всей или части) в любой момент времени . В простейшем случае может быть задано .

ГУ второго рода

Задают плотность теплового потока через поверхность тела (в простейшем случае)

) или . (4.18)

ГУ третьего рода.

Задаются коэффициент теплоотдачи поверхности α и температура среды

В виду непрерывности теплового потока на границе раздела тела и среды имеем

. (4.19)

ГУ четвертого рода.

Это условие относится к случаю соприкосновения двух тел с разными КТП λ₁ и λ₂, при идеальном контакте между ними – без зазоров, прослоек и т.п.

,

.