4.5. Простейшие задачи теплопроводности
Стационарные одномерные температурные поля в плоской и цилиндрической стенках.
Пусть плита, ограниченная параллельными плоскостями, имеет во всех точках одинаковую не зависящую от направления теплопроводность λ и пусть через неё в положительном направлении оси X и перпендикулярном плоскости плиты, протекает тепловой поток. Причём удельный тепловой поток рx = const, py = 0.
Данные условия выполняются в каждой точке плиты.
Рис. 4.5. Тепловое сопротивление плоской стенки
Согласно (3.9) получим
. (4.54)
Это означает, что в направлении Y температура не изменяется. Таким образом, температура внутри плиты изменяется только в направлении X и поле температур является одномерным (х).
В этом случае px= const и λx= const, а частная производная (3.9) обращается в полную
. (4.55)
Зависимость (х) представляется прямой линией
. (4.56)
При x1=0, =1. При x2= δ, =2.
. (4.57)
. (4.58)
. (4.59)
Полагаем
.
Следовательно, перепад температуры в теле можно записать в виде
, (4.60)
где R – тепловое сопротивление
плоской стенки,
.
Понятия о тепловом сопротивлении
и тепловой проводимости
Аналогия между законом Ома для электропроводности и законом Ома для теплопередачи представляет определенный интерес. Так по закону Ома для электропроводности имеем
,
где U – падение напряжения
вдоль проводника на длине
;
γ – удельная электропроводность; j
– плотность тока.
или
,
где I – ток в проводнике; – длина проводника; S – сечение проводника.
Следовательно, в выражении (4.60) постоянная
R соответствует величине
,
а не электрическому сопротивлению
.
Однако, если выделить элемент среды, имеющий определённое сечение и длину, то аналогично можно продолжить далее.
Рис. 4.6. Тепловой поток в выделенном элементе среды
, (4.61)
где Р – тепловой поток, Вт.
В электромашиностроении исходной величиной всегда является удельная тепловая нагрузка Р, поэтому формула (3.60) более предпочтительна.
Тепловое сопротивление R в (3.60) можно интерпретировать, как удельное сопротивление на единицу поверхности.
Таким образом, отношение перепада температуры к тепловому потоку называется термическим сопротивлением, которое аналогично электрическому сопротивлению
. (4.62)
Для цилиндрической стенки решение уравнения теплопроводности имеет вид
, (4.63)
где
и
-
температуры внутренней и внешней
поверхности стенки, радиусы которых
rвт и rвш.
Термическое сопротивление цилиндрической стенки
, (4.64)
где – аксиальная длина стенки.
Для плоской стенки толщиной 2δ с однородным охлаждением боковых поверхностей и плотностью тепловыделений Ра/Vа уравнение теплопроводности записывается в виде
. (4.65)
Рис. 4.7. Распределение температуры в плоской и цилиндрической стенках
без внутренних источников тепла
После двойного интегрирования получаем
, (4.66)
где С = Тmax (граничное условие Т = Тmax при х = 0).
Формулы 4.23 и 4.24 верны также для пластины толщиной δ, охлаждаемой с одной стороны.
Термическое сопротивление такой пластины площадью S
, (4.67)
а средняя температура
. (4.68)
Если определить термическое сопротивление по разности средней температуры и температуры охлаждаемой поверхности Те, то
. (4.69)
Сравнение (4.25) и (4.27) с (4.20) показывает, что пластина толщиной δ и площадью S с распределенными источниками теплоты интенсивностью Ра/Vа по термическому сопротивлению эквивалентна пластине без теплоисточников, к боковой поверхности S которой подводится тепловой поток Ра, а толщина пластины равна δ/3.