4.5.2. Динамические методы

Динамические методы определения пьезо-электрических характеристик кристаллов связаны с возбуждением в них упругих колебаний и распространением акустических волн. Для определения коэффициента электромеханической связи K_св через пьезоэлектрические коэффициенты необходимо знать значения диэлектрической проницаемости (ε_ij) и непроницаемости (_ij), а также компоненты тензоров упругой податливости (s_mn) и упругой жесткости (c_mn). Диэлектрическая проницаемость ε_ij обычно рассчитывается из измерений электрической емкости образца по мостовой схеме.

Для нахождения упругих характеристик s_mn и c_mn нужно определить плотность вещества  и скорость распространения в нем акустических волн либо измерить геометрические размеры образца и частоту резонансных колебаний образца. Рассмотрим основные виды акустических волн в пьезоэлектрическом кристалле и найдем, как связаны между собой их скорости и упругие постоянные s_mn и c_mn.

Метод "резонанса-антирезонанса"

Определение параметров пьезоэлектриков методом резонанса-антирезонанса обычно производят с помощью схемы, приведенной на рис. 4.3. Схема содержит плавно перестраиваемый генератор (1), электронный частотомер (2) и резистор (3), предназначенный для уменьшения влияния реактивной составляющей выходного сопротивления генератора на результаты измерений. Последовательно с генератором в цепь включают исследуемый образец пьезоэлектрического материала с нанесенными электродами. Прежде всего, для этого необходимо измерить резонансную f_р и антирезонансную f_а частоты резонатора, которые являются частотами механического резонанса электрически свободного и электрически зажатого образца, соответственно. Значения частот f_р и f_а определяют экспериментально. Для этого плавно изменяют частоту генератора 1 (рис. 4.3) и посредством частотомера 2 находят частоты f_р и f_а, соответствующие максимальному и минимальному отклонению стрелки вольтметра 6, причем f_а > f_р.

Частота f_р соответствует максимуму, а частота f_а - минимуму на зависимости U(f):

,

.

Эти частоты имеют следующий физический смысл. Когда частота задающего генератора такова, что выполняется условие _pL - (_pC)^-1 = 0 для пьезоэлектрической ветви контура, сопротивление контура становится минимальным (равным R) и через кристалл течет большой ток. Поэтому частота

называется резонансной. При повышении частоты задающего генератора наступает момент (=_а), когда выполняется условие

.

Полное сопротивление контура (импеданс) становится максимальным, а ток в цепи – минимальным. Эта частота называется антирезонансной:

.

По максимуму и минимуму тока в цепи регистрируют _р и _а.

Рис. 4.3. Схема для определения резонансной и антирезонансной частот: 1 - генератор, 2 - электронно-счетный частотомер, 3 - согласующее сопротивление, 4 - образец, 5 - сопротивление нагрузки, 6 - милливольтметр

Из двух последних выражений легко получить связь между измеряемыми частотами f_р и f_а и эквивалентным параметром С:

.

Статическая емкость резонатора С₀ может быть вычислена по обычной формуле плоского конденсатора (или измерена с помощью моста для измерения емкостей):

,

здесь  - диэлектрическая проницаемость; S - площадь электрода, d - расстояние между электродами, ₀ = 8,8510^-12 Ф/м - электрическая постоянная.

Таким образом, измерив f_p и f_a, можно вычислить эквивалентный параметр С по выше приведенной формуле.

Эквивалентный параметр L находится по формуле

.

Эквивалентный параметр R можно определить так называемым методом замещения. Известно, что на резонансной частоте сопротивление резонатора равно сопротивлению R эквивалентной цепи. Поэтому, заменив резонатор магазином сопротивлений и подобрав сопротивление, равное тому, которое имел резонатор в момент резонанса, можно определить R.

Выше уже говорилось, что частота _р позволяет определить упругие характеристики кристалла. Знание обеих величин _р и _а позволяет определять важнейшие пьезоэлектрические характеристики – коэффициент электромеханической связи К и пьезомодуль d. Покажем это.

Резонанс наступает при . Здесь – упругая податливость кристалла при замкнутых электродах, когда напряженность поля Е=0. Условие антирезонанса (резонанса токов) соответствует минимуму тока, а при R << L току

,

где q – заряд на поверхности пьезокристалла. Отсюда следует, что q = const, а следовательно, и поляризация Р = const. Кристалл при наступлении антирезонанса оказывается элек-трически зажатым. Скорость акустических волн в кристалле в этом случае будет определяться соотношением

.

Здесь – упругая податливость кристалла при разомкнутых электродах, когда электрическая индукция D = const. Антирезонансные колебания, как и резонансные, соответствуют стоячей волне в стержне, когда на длине стержня укладывается половина длины волны, т.е.  = 2 . В соответствии с этим

,

Отсюда

.

Поскольку s^D < s^E, то _а > _p. Таким образом, получим:

.

Следовательно, знание _p и _а позволяет определять s_mn и К.

При условии  <<  и, _а  _p

.

Более точное соотношение между К² и относительным резонансным промежутком имеет вид

. )

Оставляя только первый член этого ряда, имеем

.