7.7. Вынужденные колебания

Для того чтобы колебания были незатухающими, необходимо постоянно прикладывать некоторую периодическую вынуждающую силу. Пусть вынуждающая сила подчиняется закону синуса или косинуса:

. (7.46)

Здесь амплитуда вынуждающей силы; - угловая частота колебаний вынуждающей силы.

Тогда дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

(7.47)

В курсе высшей математики подобное уравнение носит название дифференциального уравнения второго порядка с особой правой частью, решение которого в данном случае находится в виде:

(7.48)

Однако, в силу того, что собственная угловая частота свободных колебаний равна , и колебания подчиняются закону , то они быстро затухнут. Амплитуда вынужденных колебаний остается величиной постоянной, если амплитуда вынуждающей силы не меняется со временем. Поэтому можно пренебречь собственными колебаниями системы, которые играю важную роль только в самом начале процесса, и записать:

. (7.49)

Дважды продифференцируем это выражение и подставим значения найденных производных в исходное дифференциальное уравнение:

; (7.50)

. (7.51)

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид:

Учитывая, что:

;

.

Получим:

Раскрывая скобки и группируя слагаемые, получим:

Приравнивая в обоих частях равенства множители при и , получим систему уравнений:

(7.52)

Из второго уравнения следует, что:

. (7.53)

Из курса алгебры нам известно, что:

;

;

,

Отсюда:

.

Тогда, подставляя найденные значения в первое уравнение системы, получим:

;

.

Отсюда:

.

Или:

. (7.54)

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы возникают гармонические вынужденные колебания с той же частотой . Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и зависит от собственных характеристик свободно колеблющейся точки.

Здесь важно рассмотреть три основных частных случая вынужденных колебаний.

1. Область малых частот: .

В этой области сдвиг фаз близок к нулю.

Учитывая, что выражение для амплитуды в этом случае удобно переписать в виде:

(7.55)

В предельном случае, когда , т.е. при постоянной нагрузке, , где - статическое смещение точки под действием постоянной силы.

Если и сила трения мала, то , т.е. смещение колеблющейся точки практически без искажений следует за изменением вынуждающей силы. Это находит применение в приборах, в которых важно, чтобы вынужденные колебания прибора успевали следовать за изменениями вынуждающей силы (различного рода самописцы, регистрирующие быстропеременные усилия), т.е. собственная частота колебаний прибора должна быть во много раз больше частоты изменения измеряемой величины . Это и следует из выражения .

2. Область высоких частот: .

При таких частотах сдвиг фаз , т.е. колебания точек происходят в противофазе по отношению к колебаниям вынуждающей силы. Когда смещение положительно – вынуждающая сила отрицательна и наоборот. Вследствие этого амплитуда вынужденных колебаний не может быть большой и убывает с ростом частоты вынуждающей силы по закону:

. (7.56)

3. Область резонанса: .

В таком случае наблюдается резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний:

. (7.57)

Таким образом, чем меньше коэффициент затухания , тем больше

Явление резонанса позволяет использовать его для регистрации импульсов очень слабых колебаний. Когда изменяемая частота прибора совпадет с собственной частотой изучаемых слабых колебаний, появляется возможность регистрации хотя бы резонансных точек.