5.4. Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим систему материальных точек массами , , …, действующих друг на друга силами …, …, …, где, например, силы - сила действующая со стороны тела массой на точку массой .

Не будем исключать возможности действия на эти точки внешних сил со стороны других тел, не входящих в систему.

Обозначим такие силы через и т.д. тогда II-й закон Ньютона для системы этих материальных точек перепишется в виде:

Пусть все скорости лежать в одной плоскости (рис. 27). Тогда ось моментов будет I этой плоскости.

Рис.27

Проведя радиусы-векторы ко всем точкам системы ….

(5.27)

Сложив левые и правые части этих уравнений слева получим:

где L- общий момент импульса всех точек системы.

Справа получим сумму моментов всех внутренних и внешних сил, действующих в системе.

По III закону Ньютона внутренние силы попарно равны и противоположны друг другу, поэтому и сумма моментов всех внутренних сил должны быть равны нулю. Таким образом в правой части поле сложения остается только сумма всех моментов внешних сил:

(5.28)

Таким образом, получим:

То есть, производная общего момента импульса.

Системы материальных точек относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующих на систему внешних осей относительно этой же оси.

В частности, если для какой-либо оси , то:

. (5.29)

Уравнение (5.29) выражает закон сохранения момента импульса системы материальных точек: общий момент импульса системы относительно какой-либо неподвижной оси остается постоянным, если момент внешних сил относительно этой оси равен нулю.

Отсюда можно сделать еще один вывод:

Момент импульса замкнутой системы есть величина постоянная, так как для нее сумма внешних сил, а значит, и момент внешних сил равны нулю.

Интересно пронаблюдать за тем, как при неизменном моменте импульса системы ведет себя кинетическая энергия. Будет ли выполняться закон сохранения энергии или нет? Осуществляться - не будет. Кинетическая энергия будет меняться.

Действительно:

,

Отсюда

(5.30)

где I – момент инерции материальной точки относительно оси вращения. Это же вращение справедливо и для системы материальных точек, вращающихся с общей угловой скоростью вокруг одной и той же оси.

Тогда, если в отсутствие моментов внешних сил момент инерции системы изменения, то происходит и соответствующее изменение угловой скорости, так как момент импульса остается неизменным; но если остается неизменным, то ² уже не может оставаться неизменным; поэтому когда при неизменном моменте импульса момент инерции увеличивается, то кинетическая энергия уменьшается, и наоборот. Это изменение кинетической энергии обусловлено работой тех сил, которые связывают изменения момента инерции вращающейся системы.

Наглядной иллюстрацией подобного изменения кинетической энергии служит следующий опыт (рис.28).

Рис. 28

В центре диска имеется отверстие, через которое пропущена нить. К одному концу нити привязан шарик массой (m), находящийся на поверхности диска на некотором расстоянии от центра.

Шарик приводит во вращательное движение относительно центра диска, сообщив ему некоторую скорость.

Тогда. Чтобы радиус вращения оставался величиной постоянной нужно к другому концу нити приложить удерживающую силу F как это показано на рис. 28.

,

где - условная скорость вращающегося шарика, находящегося на расстоянии от центра.

Далее возможны следующие действия:

Мы медленно «отпускаем» нить, продолжая удерживать ее с прежней силой. При этом точка приложения силы будет смещаться в сторону противоположную направлению действия силы (в нашем случае будет смещаться вверх).

Шарик по спирали начнет удаляться от центра, то есть будет увеличиваться его момент инерции.

Так как сила натяжения нити проходит через ось моментов, она не может влиять на момент импульса шарика. Таким образом, закон сохранения момента импульса выполняется.

.

То есть условие скорость шарика будет уменьшаться

Кинетическая энергия в начальный момент времени:

В конечный момент:

А так как , то

То есть кинетическая энергия уменьшилась.

Аналогичным образом можно доказать, что если втягивать нить, то кинетическая энергия шарика будет увеличиваться.

В первом случае сила совершила отрицательную работу, так как точки приложения смещались в сторону, противоположную направлению действия силы. Эта отрицательная работа внешней силы и уменьшает кинетическую энергию.

Во втором случае сила F совершает положительную работу, которая увеличивает кинетическую энергию.