Глава 2. Физические основы механики теоретические сведения Кинематика поступательного и вращательного движения

При равномерном движении по прямой в одном направлении путь равен

S = υt.

Скорость равна

Средняя скорость равна

.

Cреднее ускорение:

Мгновенное ускорение:

где a_x = dυ_x / dt, a_y = dυ_y / dt, a_z = dυ_z / dt – проекции ускорения на оси координат.

Величина ускорения равна

.

При равнопеременном движении по прямой в одну сторону путь равен

Скорость равна

Мгновенная скорость:

где υ_x = dx / dt, υ_y = dy / dt, υ_z = dz / dt – проекции скорости на оси координат.

Начальная скорость υ₁, конечная υ₂, ускорение а и путь, пройденный телом, связаны уравнением

Движение материальной точки (тела) на плоскости определяется системой параметрических уравнений

Решение этой системы дает уравнение траектории

При решении задач о движении точки на плоскости желательно использовать принцип независимости движения по каждой оси.

Примеры: 1) движение тела, брошенного горизонтально:

2) движение тела, брошенного под углом со скоростью :

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

.

Величина этих ускорений:

,

где R – радиус кривизны в данной точке траектории.

Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) .

Средняя угловая скорость:

,

где – изменения угла поворота за интервал времени .

Мгновенная угловая скорость:

.

Среднее угловое ускорение:

,

и мгновенное угловое ускорение:

.

Кинематическое уравнение равномерного вращения:

,

где – начальное угловое перемещение, t – время, – угол поворота.

Время полного оборота вокруг оси (период вращения):

,

частота вращения:

где N – число оборотов, совершаемых за время t; Т – период вращения.

Уравнение равноускоренного вращения:

,

где и – начальные угловая скорость и угловое перемещение.

Угловая скорость при равноускоренном вращении:

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

путь, пройденный телом:

,

линейная скорость:

υ = ωR,

тангенциальное ускорение:

нормальное ускорение:

Динамика материальной точки и поступательного движения абсолютно твёрдого тела

Импульс (количество движения) материальной точки (тела):

где m – масса материальной точки; – скорость материальной точки.

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

,

где – геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; – ускорение; N – число сил, действующих на точку.

Уравнение движения материальной точки в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки:

где R – радиус кривизны траектории в данной точке; – угловая скорость.

Изменение импульса материальной точки (системы тел):

,

,

где dt ( ) – время действия силы; ( ) – импульс силы.

Закон сохранения импульса для замкнутой системы:

где N – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского):

,

где реактивная сила:

= ,

где u – скорость истечения газов из ракеты (тела).

Формула Циолковского для определения скорости ракеты:

где m₀ – начальная масса ракеты; m – текущая масса ракеты; u – скорость частиц газа относительно ракеты.

Координаты центра масс системы материальных точек:

где – масса i-й материальной точки; – её координаты.

Радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы частиц в пространстве относительно произвольной точки О:

Закон всемирного тяготения:

,

где F – сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек; и – их массы; r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная.

Ускорение свободного падения, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной сферически симметрично:

,

,

где g₀ и g₁ – ускорения свободного падения на поверхности планеты радиусом R и на высоте h над поверхностью планеты.

Сила тяжести:

.

Закон Гука для нормального растяжения или сжатия:

,

где x – абсолютное удлинение; k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость).

Напряжение при упругой деформации:

,

где S – площадь поперечного сечения; – растягивающая (сжимающая) сила.

Относительное продольное растяжение (сжатие):

где ∆l x – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

Относительное поперечное растяжение (сжатие):

где ∆d – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.

Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) и относительным продольным растяжением (сжатием):

,

где μ – коэффициент Пуассона.

Напряжение при продольном растяжении (сжатии):

,

где E – модуль Юнга.

Закон Гука для сдвига:

,

где G – модуль поперечной упругости (модуль сдвига).

Сила трения скольжения:

,

где  – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

Сила трения качения:

,

где _к – коэффициент трения качения; r – радиус катящегося тела.

Для неинерциальных систем уравнение движения имеет вид

,

где ; – сила инерции.