Релятивистская механика

1. В лабораторной системе отсчета в точках с координатами x₁ и x₂ = x₁+l₀ одновременно происходят события l и 2, причем l₀ = 1,4 км. Определите 1) расстояние , фиксируемое наблюдателем в системе отсчета, связанной с ракетой, которая движется со скоростью υ = 0,6 с (c – скорость света) в отрицательном направлении оси х; 2) время τ между этими событиями, фиксируемое наблюдателем в системе отсчета, связанной с ракетой.

2. Две нестабильные частицы движутся в системе отсчета K в одном направлении вдоль одной прямой с одинаковой скоростью υ = 0,6 с. Расстояние между частицами в системе K равно 64 м. Обе частицы распались одновременно в системе K′, которая связана с ними. Определите промежуток ∆t времени между распадом частиц в системе K.

3. Докажите, что длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.

4. Определите, во сколько раз увеличивается время жизни нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью, равной υ = 0,9 с.

5. Собственное время жизни частицы отличается на 1% от времени жизни по неподвижным часам. Определите  = υ/с.

6. Космический корабль движется со скоростью υ = 0,8 с по направлению к Земле. Определите расстояние l, пройденное им в системе отсчета, связанной с Землей (системе K), за t₀ = 0,5 с, отсчитанное по часам в космическом корабле (системе K′).

7. Мюоны рождаясь в верхних слоях атмосферы, при скорости υ = 0,995 с пролетают до распада l = 6 км. Определите: 1) собственную длину пути, пройденную ими до распада; 2) время жизни мюона для наблюдателя на Земле; 3) собственное время жизни мюона.

8. Докажите, что линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

9. Определите относительную скорость движения, при которой релятивистское сокращение линейных размеров тела составляет 10 %.

10. В системе K′ покоится стержень (собственная длина l₀ = 1,5 м), ориентированный под углом = 30⁰ к оси . Система K′ движется относительно системы K со скоростью υ = 0,6 с. Определите в системе K: 1) длину стержня l; 2) соответствующий угол .

11. Определите собственную длину стержня, если в лабораторной системе его скорость υ = 0,6 м/с, длина l = 1,5 м и угол между ним и направлением движения  = 30⁰.

12. Пользуясь преобразованиями Лоренца, выведите релятивистский закон сложения скоростей, если переход происходит от системы K к системе K′.

13. Космический корабль удаляется от Земли с относительной скоростью υ₁ = 0,8 с, а затем с него стартует ракета (в направлении от Земли) со скоростью υ₂ = 0,8 м/с относительно корабля. Определить скорость υ ракеты относительно Земли.

14. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью υ = 0,8 с, испустил фотон в направлении своего движения. Определите скорость фотона относительно ускорителя.

15. Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно неподвижного наблюдателя с одинаковой скоростью, равной υ = 0,5 с. Определите скорость сближения ракет, исходя из закона сложения скоростей: 1) в классической механике; 2) в специальной теории относительности.

16. Релятивистская частица движется в системе K со скоростью u под углом  к оси x. Определите соответствующий угол в системе K′, движущейся со скоростью υ относительно системы K в положительном направлении оси х, если оси х и x′ обеих систем совпадают.

17. Докажите, что интервал между двумя событиями является величиной инвариантной, т.е. имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета.

18. Воспользовавшись тем, что интервал является инвариантной величиной по отношению к преобразованиям координат, определите расстояние, которое пролетел -мезон с момента рождения до распада, если время его жизни в этой системе отсчета t = 4,4 мкс, а собственное время жизни t₀ = 2,2 мкс.

19. Частица движется со скоростью υ = 0,8 с. Определите отношение массы релятивистской частицы к ее массе покоя.

20. Определите, на сколько процентов масса релятивистской элементарной частицы, вылетающей из ускорителя со скоростью υ = 0,75 с, больше ее массы покоя.

21. Определите скорость движения релятивистской частицы, если ее масса в два раза больше массы покоя.

22. Определите релятивистский импульс протона, если скорость его движения υ = 0,8 с.

23. Определите скорость частицы, при которой релятивистский импульс превышает ее ньютоновский импульс в n = 3 раза.

24. Определите зависимость скорости частицы (масса покоя m₀) от времени, если движение одномерное, сила постоянна и уравнение движения релятивистское.

25. Полная энергия релятивистской частицы в 8 раз превышает ее энергию покоя. Определите скорость этой частицы.

26. Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Определите скорость частицы υ.

27. Определите релятивистский импульс р и кинетическую энергию E_K протона, движущегося со скоростью υ = 0,75 с.

28. Определите кинетическую энергию электрона E_K, если масса движущегося электрона втрое больше его массы покоя. Ответ выразить в электрон-вольтах.

29. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов ∆φ должен пройти протон, чтобы его скорость составила 90 % скорости света.

30. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов ∆φ должен пройти электрон, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза.

31. Определите работу A, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя m₀ от υ₁ = 0,5 с до υ₂ = 0,7 с.

32. Выведите в общем виде зависимость между релятивистским импульсом, кинетической энергией релятивистской частицы и ее массой покоя.

33. Определите релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого E_K = 1 ГэВ.

34. Докажите, что выражение релятивистского импульса при υс переходит в соответствующее выражение классической механики.

35. Докажите, что для релятивистской частицы величина является инвариантной.