Магнитное поле

Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут в одном направлении токи силой I = 60 А расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить индукцию B магнитного поля в точке А, отстоящей от одного проводника на расстоянии r₁ = 5 см и от другого на расстоянии r₂ = 12 см.

Решение. Для нахождения индукции магнитного поля B в указанной точке А (рис. 29) определим направление векторов индукции и полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически (по правилу параллелограмма), т.е.

+ .

Абсолютное значение индукции B может быть найдено по теореме косинусов:

, (1)

где  – угол между векторами и .

З начение индукций B₁ и B₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от проводов до точки А, индукцию поля в которой мы вычисляем:

Рис. 29

,  . (2)

Подставляя B₁ и B₂ в формулу (1) и вынося за знак корня, получим:

. (3)

Вычислим cos . По теореме косинусов из треугольника ADC имеем:

, (4)

где d – расстояние между проводниками.

Отсюда

, (5)

или

. (6)

Подставляя в формулу (3) значения I, r₁, r₂ и значение cos , определяем искомую индукцию:

= 3,0810^-4 Тл.

Ответ: B = 3,0810^-4 Тл.

Пример 2. Плоский квадратный контур со стороной a = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл. Определить работу , совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) α₁ = 90⁰; 2) α₂ = 3⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил:

. (1)

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (M =0), а значит, α = 0, т.е. векторы и совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота α), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме:

. (2)

Подставив сюда выражение (1) и учитывая, что p_m = IS = Ia², где _I ‒ сила тока в контуре; S = a² ‒ площадь контура, получим:

. (3)

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

. (4)

1. Работа при повороте на угол α₁ = 90⁰:

. (5)

Подставим числовые значения:

.

2. Работа при повороте на угол α₂ = 3⁰. В этом случае, учитывая, что угол α₂ мал, заменим в выражении (4) sinα ≈ α:

(6)

Выразим угол α₂ в радианах и подставим числовые значения в (6):

.

Ответ: А₁ = 1 Дж, А₂ = 1,37 мДж.

Пример 3. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,02 Тл находится проводник длиной l = 1 м и массой m = 0,005 кг, расположенный горизонтально. Линии индукции поля также горизонтальны и перпендикулярны к проводнику. Какой ток должен протекать через проводник, чтобы он завис?

Решение. На проводник действуют две силы:

силы тяжести

(1)

и сила Ампера

, (2)

где α – угол между направлением тока в проводнике и вектором индукции. По условию задачи α = 90⁰, следовательно,

(3)

Для того чтобы проводник завис, необходимо, чтобы эти силы уравновешивали друг друга, т.е. были противоположно направлены и равны по модулю:

. (4)

Выразим из этого выражения силу тока I:

. (5)

Подставив числовые данные, получим:

.

Ответ: I = 2,45 А.

Пример 4. Максимальный вращающий момент, действующий на рамку площадью S =1 см², находящуюся в магнитном поле, равен M_max = 2 мкН⋅м. Сила тока в рамке I = 0,5 А. Определите индукцию магнитного поля B.

Решение. Механический момент M, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

, (1)

где p_m – магнитный момент.

. (2)

Механический момент максимален при sinα=1. Т.о.

. (3)

Отсюда

. (4)

Подставим числовые данные:

.

Ответ: B = 0,04 Тл.