Примеры решения задач Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

Пример 1. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением P₁ = 1МПа и при температуре T₁ = 300 К. После того, как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 290 К. Определите давление Р₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

, (1)

где m₂ – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; μ – молярная масса гелия; R – молярная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление:

. (2)

Массу m₂ гелия выразим через массу m₁, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

. (3)

Массу m₁ гелия найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

. (4)

Подставив выражение массы m₁ в (3), а затем выражение m₂ в (2), найдем

,

или

. (5)

Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что M = 4⋅10^-3 кг/моль:

.

Ответ: P₂ = 0,364 МПа.

Пример 2. Баллон содержит m = 80 г кислорода и m₂ = 320 г аргона. Давление смеси P =1 МПа, температура Т = 300 К. Принимая данные газа за идеальные, определите объем V баллона.

Решение. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Клапейрона – Менделеева парциальные давления P₁ кислорода и P₂ аргона выражаются формулами

. (1)

(2)

По закону Дальтона давление смеси газов

(3)

Следовательно, с учетом (1) и (2)

. (4)

Найдем объем V из выражения (4):

. (5)

Произведем вычисления, учитывая, что M₁ = 32·10^-3кг/моль,

а M₂ = 40·10^-3 кг/моль:

Ответ: V = 26,2 л.

Пример 3. Двухатомный газ, находящийся под давлением P = 0,1 МПа в сосуде объемом V = 0,5 м³, нагревают от T₁ = 30 до T₂= 130 ⁰С. Определить количество теплоты Q, необходимое для изохорического нагревания газа.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания, можно найти по формуле

. (1)

Здесь c_V – удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Молярная С_V и удельная с_V теплоемкости связаны соотношением

C_V = c_VM. (2)

Молярная теплоемкость при постоянном объеме:

, (3)

где i – число степеней свободы.

Из (2) и (3) следует, что

. (4)

Молярную массу газа найдем из уравнения Менедлеева-Клапейрона, характеризующего начальное состояние газа:

, (5)

. (6)

Подставим (6) в (4), а затем полученное выражение подставим в (1):

, (7)

, (8)

. (9)

Подставим в (9) числовые данные и получим значение Q:

.

Ответ: количество теплоты Q = 41 кДж.