Учебное пособие 2003

УДК 517.9

Дубровская А.П., Глушко Е.Г. Элементы теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2004. 183с.

В учебном пособии излагаются основы теории вероятностей и математической статистики в соответствии с программой этого курса для инженерно-технических специальностей вузов. Используется аксиоматический подход для введения понятия вероятности, однако изложение материала ведется на уровне, доступном для студентов второго курса вузов. Основные методы теории вероятностей и статистики иллюстрируются примерами.

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word и содержится в файле

TVER.ZIP.

Ил.34. Библиогр.: 5 назв.

Рецензенты: кафедра уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского государственного университета; канд. физ.-мат. наук Провоторова Е.Н.

Дубровская А.П. , Глушко Е.Г., 2004 Оформление. Воронежский государственный технический университет, 2004

2

Введение

Теория вероятностей и математическая статистика относятся к числу прикладных математических дисциплин, в которой можно выделить два направления. Первое направление - теория вероятностей, производит пересчет заданных вероятностей «простых» событий в вероятности «сложных» событий, а второе направление - математическая статистика по наблюденным данным восстанавливает вероятности событий или проверяет, правы ли мы в своих предположениях относительно этих вероятностей. Правильность исходных предпосылок теории вероятностей и математической статистики, как и всякой другой прикладной теории, проверяется практикой.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Наряду с естественными отраслями науки и техники, эти методы широко применяются в истории, медицине, генетике, социологии, лингвистике и т.д.

Предлагаемое учебное пособие написано на основе разделов теории вероятностей и математической статистики курса «Математика», читаемых студентам самых различных специальностей инженерно-технического профиля в объеме 34 часов. Для его изучения достаточно знание математики в объеме стандартного курса высшей математики для втузов.

Структура учебного пособия такова, что каждый параграф по объему изложения в основном соответствует реальной лекции. Некоторые параграфы, превышающие по объему материал одной лекции, рассчитаны на частичное самостоятельное изучение его студентами.

3

Впервых четырех параграфах вводится пространство элементарных событий, алгебра событий, аксиоматическое определение вероятности, и дается важное для дальнейшего понятие вероятностного пространства.

Темы: статистические, классические, геометрические вероятности, независимые испытания, формула полной вероятности, Байеса, схема Бернулли изложены с использованием понятия вероятностного пространства.

Впараграфах 5-8 рассматриваются одномерные случайные величины, их вероятностные и числовые характеристики, различные виды распределений дискретных и непрерывных случайных величин, нормальное распределение.

9-11 параграфы посвящены случайным векторам и функции от случайных величин. Здесь рассматриваются вопросы нахождения вероятностных (функции распределения, закона распределения, плотности вероятности) и числовых характеристик составляющих по аналогичным характеристикам случайного вектора, а также нахождение перечисленных выше характеристик функции по известным характеристикам аргумента.

В12 параграфе рассматривается важное для

степенями свободы); в 13 параграфе - ряд теорем, объединенных одним названием «закон больших чисел», в 14 параграфецепи Маркова.

Основным понятиям математической статистики, стандартным статистическим методам обработки экспериментальных данных, основам теории оценивания неизвестных параметров распределения, статистической проверке гипотез посвящены параграфы 15-18.

В пособии разобрано большое количество примеров, разъясняющих теоретические положения. Что, несомненно, способствует хорошему усвоению студентами излагаемого материала.

4

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Элементы комбинаторики.

Решение вероятностных задач на классическую схему часто облегчается использованием комбинаторных формул. Каждая из них определяет общее число элементарных исходов в опыте, состоящем в выборе наудачу m элементов из n различных элементов. Формулы комбинаторики используются также для нахождения благоприятного числа исходов.

Существуют две принципиально различные схемы выбора. В первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов (это значит, что отбираются либо сразу все m элементов, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества). Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным перемешиванием исходного множества перед следующим выбором. После того как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы (или их номера) могут быть либо упорядочены (т.е. выложены в последовательную цепочку), либо нет. В результате получаются следующие различные постановки эксперимента по выбору наудачу m элементов из общего числа n различных элементов множества:

1)схема выбора, приводящая к перестановкам (к перестановкам с повторениями).

2)схема выбора, приводящая к размещениям (к размещениям с повторениями).

3)схема выбора, приводящая к сочетаниям (к сочетаниям с повторениями).

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Например, всевозможными перестановками чисел 5,7,8

являются (5,7,8),(5,8,7),(7,5,8),(7,8,5),(8,5,7),(8,7,5).

5

Для определения числа различных перестановок из n элементов ( Pn ) используется формула

Размещением из n элементов по m называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из общей совокупности в n элементов.

Выпишем, например, все размещения из трех чисел

5,7,8 по два (5,7),(5,8),(7,8),(7,5),(8,5),(8,7). Для определения числа различных размещений из n элементов по m

( Anm ) используется формула

Сочетанием из n элементов по m называется неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из общей совокупности в n элементов.

Сочетаниями, например, из трех чисел 5,7,8 по два являются (5,7),(5,8),(7,8). Для определения числа различных

сочетаний из n элементов по m ( Cnm ) используется формула

Если эксперимент предполагает, что каждый элемент множества может входить в подмножество сколько угодно раз, (схема с возвращением), то используются перестановки,

размещения и сочетания с повторениями.

Соответствующие формулы для расчета числа

6

2)размещений с повторениями из n элементов по m элементов Rnm nm.

3)сочетаний с повторениями из n элементов по m

Пример. Сколько различных пятизначных чисел без повторения цифр можно составить из цифр 1,2,3,4,5?

Ответ: P5 5! 120.

Пример. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг (три горизонтальных цветных полосы равной ширины), если имеется материал пяти различных цветов?

Решение. Очевидно, что флаг будет иным, если поменять местами полосы из выбранных трех цветов, то есть в условиях данной задачи группы из трех цветов зависят еще и от порядка их расположения, поэтому количество способов

Пример. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти.

Решение. В данном случае варианты выбрать, например, белую, черную и красную краски или красную, белую и черную, очевидно, одинаковы, то есть порядок не играет роли, а, следовательно, число способов

Пример. У мамы два яблока, три груши, четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней она выдает

7

ребенку по одному фрукту. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Пусть a - означает яблоко, b - груша, c - апельсин. Множество всех фруктов состоит из двух элементов a , трех элементов b и четырех элементов c . Решением является число перестановок трех элементов a , b , c

Пример. Семь одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по четырем лункам (в любую лунку может поместиться любое число шариков) Сколько существует различных способов распределения семи шариков по 4 лункам?

Решение. Так как каждый шарик может занять любое из четырех положений и всего шариков семь, то общее число способов распределения семи шариков по четырем лункам

R47 47.

Пример. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Сколькими способами можно купить четыре открытки?

1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ

1.1. Предмет теории вероятностей

Цель теории вероятностей, так же, как и других математических дисциплин, построение математических моделей реальных явлений.

Однако, в отличие от других разделов математики, теория вероятностей занимается изучением случайных явлений, то есть таких явлений, характер протекания которых

8

нельзя предсказать однозначно на основании имеющихся данных. Для описания случайных явлений вводится понятие вероятностного эксперимента.

Под экспериментом (опытом) вообще условимся понимать всякое осуществление определенного комплекса условий, сопровождающееся регистрацией результата.

Из этого определения следует, что всякий эксперимент заканчивается некоторым исходом.

Эксперименты можно разделить на два класса.

Водном из них результаты заранее предсказуемы на основании естественных законов. Такие эксперименты называют детерминированными. Примером такого эксперимента является движение материальной частицы под действием заданной силы, описываемое законами классической механики.

Вдругом классе экспериментов при осуществлении одного и того же комплекса условий возможно наступление исключающих друг друга исходов. Такие эксперименты называют экспериментами со случайными исходами, или вероятностными (стохастическими) экспериментами. При этом предполагается, что эксперимент может быть повторен любое (теоретически неограниченное) число раз.

Примером такого эксперимента является бросание монеты на гладкую горизонтальную поверхность. Случайными исходами являются выпадение герба или цифры.

Любой наблюдаемый результат стохастического эксперимента интерпретируется как случайное событие.

Индивидуальные результаты (исходы) вероятностных экспериментов ведут себя непредсказуемо. Однако при наблюдении результатов большой последовательности таких опытов обнаруживаются некоторые устойчивые закономерности. Для описания этих закономерностей каждому случайному событию может быть поставлено в соответствие

определенное число, являющееся мерой объективной

9

возможности появления данного случайного события. Это число принято называть вероятностью случайного события.

Теоретическим изучением закономерностей, связанных со случайными экспериментами, описываемыми в терминах вероятности, и занимается теория вероятностей.

Ясно, что такое описание вероятности довольно неопределенно, и его нельзя принять как математическое понятие. Чтобы придать этому описанию точный смысл, нужно построить математическую модель случайного явления. Поэтому, прежде всего надо дать математическое описание случайного эксперимента, для исходов которого мы хотим находить вероятности.

1.2.Пространство элементарных событий

Втеории вероятностей принято называть различные исходы случайного эксперимента элементарными событиями,

амножество всех исходов – пространством элементарных событий. Пространство элементарных событий

обозначают .

Для описания каждой реальной задачи множество Ω выбирается наиболее подходящим образом.

Рассмотрим несколько подходящих примеров.

Пример 1. Подбрасывание монеты один раз на гладкую поверхность. Возможными исходами этого опыта будут: выпадение герба Г=ω1 и выпадение цифры Ц=ω2.

Пространство элементарных событий этого опыта будет

Пример 2. Бросание игральной кости один раз. Элементарными событиями будут следующие: ω1 – выпадение единицы, ω2 – выпадение двойки и так далее, ω6 – выпадение шестерки. В этом случае пространство элементарных событий