Учебное пособие 2003

оцениваемый параметр с вероятностью 1-α или в 100(1-α)% случаев.

Часто применяют односторонние доверительные интервалы, границы которых определяются из условия

P(θ<θ2)=1-α или P(θ1<θ)=1-α.

Эти интервалы называются соответственно

левосторонними и правосторонними доверительными интервалами. Выбор доверительной вероятности определяется в каждом случае конкретными условиями. Обычно используемые значения 1-α равны 0,90; 0,95; 0,99. На практике часто рассматривают симметричные доверительные интервалы длиной 2δ. Соотношение (1) в этом случае записывается в виде

Длина доверительного интервала играет важную роль: чем меньше длина доверительного интервала, тем точнее оценка. Если же длина доверительного интервала велика, то оценка малопригодна для практики.

Из соотношения (1) или (2) и из того, что θ1 и θ2 являются функциями выборки, следует, что длина доверительного интервала определяется двумя величинами: доверительной вероятностью 1-α и объемом п выборки.

Таким образом, величины δ, (1-α), п взаимосвязаны и, задавая определенные значения двум из них, можно определить значение третьей. Процедура нахождения границ доверительного интервала для параметра θ по заданной доверительной вероятности в простейшем случае состоит в следующем.

1. Из ГС с ФР F(x,θ) извлекается выборка объемом п. По этой выборке методом моментов или методом максимального

правдоподобия находится точечная оценка неизвестного параметра θ.

141

2.Составляется некоторая функция элементов выборки

-статистика Y( , ), связанная с параметром θ, такая, что ее

распределение не зависит от θ и других неизвестных параметров.

3.Задается доверительная вероятность (1-α).

4.Зная распределение статистики Y, определяют два числа у1 и y2, удовлетворяющих условию Р(y1<Y<y2)=1-α.

5.Границы доверительного интервала для параметра θ

определяются из решения относительно θ неравенства

y1<Y( , )<y2.

Используем указанную схему для нахождения доверительных интервалов параметров m и ζ нормального закона распределения.

17.2. Доверительный интервал для математического ожидания СВ X, распределенной по закону N(m, σ) при известном σ

Пусть CB X имеет нормальное распределение N(m,ζ). Требуется найти доверительный интервал для параметра m по результатам выборки x1,x2,...,xn объемом п при условии, что дисперсия ζ2 известна, а доверительная вероятность равна 1-α.

В качестве оценки параметра m возьмем выборочное

реализацию случайного вектора (X1,..., Хп) с независимыми компонентами Xi, распределенными по нормальному закону

нормальному закону с тем же МО и дисперсией D(X)=ζ2/n. В качестве статистики Y рассмотрим стандартизованную СВ

U X m , / n

142

так что u1-α/2 (квантиль стандартизованного нормального распределения) определяется как решение уравнения

143

0

Зная величину u1-α/2 получаем доверительный интервал для МО

Из анализа полученных соотношений можно сделать следующие выводы.

1.Увеличение объема п выборки приводит к уменьшению длины доверителъного интервала.

2.Увеличение доверительной вероятности (1-α) приводит к увеличению длины доверительного интервала, то есть к уменьшению точности δ.

3.Если задать точность δ, то есть предельную погрешность интервальной оценки, по формуле (2) и

доверительную вероятность 1-α, то из соотношения

.n u1 / 2 можно найти минимальный объем выборки, который обеспечивает заданную точность:

17.3. Доверительный интервал для МО СВ X, распределенной

по нормальному закону при неизвестном σ

На практике более естественной является ситуация, когда оба параметра т и ζ нормального распределения неизвестны. В этом случае для

144

В полных курсах математической статистики доказывается, что распределение СВ Тn-1, не зависит от параметров m и ζ нормального распределения, соответствующего выборке, и является распределением Стьюдента с п-1 степенями свободы.

Плотность вероятности распределения Стьюдента с п-1 степенями свободы имеет вид

Для нахождения квантилей распределения Стьюдента tp имеется таблица. Приведем ее для двух значений доверительной вероятности.

y

(x1 , y1 )

Эта задача называется задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей. При полном отсутствии информации о характере функции θ(х) невозможно получить достаточно удовлетворительное ее приближение. Рассмотрим случай, когда заранее известно, что функция θ(х) принадлежит к некоторому классу функций, зависящему от одного или нескольких параметров, то есть

θ(х)=θ(х, θ1, θ2,…, θk). (6)

В этом случае отыскание наилучшей функции θ(х) сводится к задаче определения соответствующих параметров θ1, θ2,…, θk по экспериментальным данным. Для определения оценок неизвестных параметров в практике чаще всего применяется метод наименьших квадратов.

Условимся говорить, что неизвестные параметры θ1, θ2,…, θk функции θ(х)=θ(х, θ1, θ2,…, θk), задающей зависимость y=θ(х, θ1, θ2,…, θk) определены наилучшим образом в смысле метода наименьших квадратов, если минимальна величина

i 1

Для нахождения точки минимума величины δ2(θ1, θ2,…, θk) в обычных аналитических условиях нужно приравнять нулю ее частные производные по θ1, θ2,…, θk. При этом получаем

148

где 1≤j≤k, то есть систему k уравнений с k неизвестными, решая которую, определяем искомые оценки параметров θ1,

θ2,…, θk.

Заметим, что система (8) содержит СB yi, поэтому ее решение 1, 2 ,... k также случайно. Величины j являются

оценками неизвестных параметров θj по результатам наблюдений.

В предположении, что величины уi, имеют одинаковые распределения, метод наименьших квадратов может быть применен для оценки неизвестных параметров распределения.

17.6. Линейная регрессия

Для примера рассмотрим оценку по методу наименьших квадратов параметров k и b линейной функции у=kx+b. Пусть из опыта известна совокупность значений (xi,уi,), i=1,2,…,п. Рассмотрим величину

Подставляя найденное значение в первое уравнение, приходим к равенству