Учебное пособие 2003

Понятно, что, как только CВ X примет значение хi, с вероятностью pi, величина сХ примет значение cxi с вероятностью рi. Поэтому

М(Х)=х0 (без доказательства).

Пример. Найти М(Х) равномерно распределенной СВ на

[а,b].

Иcпользуя свойство 4, получаем M[X]= a b .

2

f(x)

Пример. Найти математическое ожидание СВ, распределенной по показательному закону.

По определению

0z

6.3.Дисперсия

Возникает вопрос, насколько разбросаны возможные значения СВ относительно математического ожидания? Такой

61

разброс можно охарактеризовать количественно тем или иным способом. Одной из характеристик рассеивания СВ является

дисперсия.

Дисперсией СВ X называется математическое ожидание

квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания

D(X)=М(Х-М(Х))2.

Из определения М(Х) СВ X следуют формулы для вычисления дисперсии:

Это свойство непосредственно следует из определения. Свойство 2. Дисперсия равна математическому

ожиданию квадрата СВ минус квадрат математического

ожидания СВ:

D(X)=М(Х2) - (М(Х))2.

Проведем доказательство для непрерывной СВ. Действительно,

Свойство 3. D(c)=0, с=const.

Это утверждение следует непосредственно из свойства 2.

Свойство 4. D(cX)=с2D(X).

Это свойство также следует из свойства 2:

62

D(сХ)=М(c2Х2)-(М(сХ))2=c2M(X2)-c2(M(x)) 2= =c2(М(Х2)-(М(Х))2) ==c2D(X).

Дисперсия есть мера рассеивания возможных значений СВ около М(X). Однако дисперсия имеет размерность квадрата СВ, что приводит на практике к некоторым неудобствам.

Поэтому вводят понятие среднего квадратического отклонения.

Средним квадратическим отклонением СВ X

называется неотрицательное число ζ(Х)= D X .

Среднее квадратическое отклонение имеет уже размерность СВ и определяет некоторый стандартный интервал рассеивания, симметричный относительно М(Х).

Очевидно, если X=const, ζ(Х)=0.

Пример. Найти дисперсию равномерно распределенной

СВ.

Найти дисперсию СВ, распределенной по показательному закону, предлагается самостоятельно.

6.5. Мода, медиана

Рассмотрим некоторые другие числовые характеристики случайных величин.

Модой непрерывной СВ называется действительное число d(X), определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей f(х).

63

Модой дискретной СВ называется такое возможное

Таким образом, мода дискретной СВ есть ее наиболее вероятное значение в случае, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение). Например, для биномиального распределения мода может иметь либо одно значение d(X)=[np-q], либо два d(X)=[np-q], [np-q]+1.

Медианой непрерывной СВ называется действительное число h(X), удовлетворяющее условию Р(Х<h(Х))=Р(Х≥h(X)),

то есть корень уравнения F x 1/ 2.

Медиана определяется, вообще говоря, неоднозначно.

Начальным моментом k-го порядка (k=0,1,2,...)

распределения CВ X (если он существует) называется действительное число k , определяемое по формуле

xik pi , если Х - дискретная СВ;

i

k M Xk

xk f x dx, если Х - непрерывная СВ.

В частности, математическое ожидание СВ является начальным моментом первого порядка, то есть 1 =М(X).

Центральным моментом k-го порядка (k=0, 1, 2,...)

распределения СВ X (если он существует) называется число μk, определяемое формулой

Критической точкой порядка р (симметричной критической точкой порядка р) распределения непрерывной

7. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ПРИНИМАЮЩАЯ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТОДОМ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

7.1. Общий метод

Пусть СВ X принимает конечное или счетное число целочисленных значений. В соответствие заданному распределению поставим функцию

Можно, используя теорему Абеля, показать, что Ф(z) - аналитическая функция в круге радиусом 1 (|z|<1).

Функция Ф(z) называется производящей функцией для заданного распределения вероятностей.

Выразим математическое ожидание и дисперсию через производящую функцию. Так как СВ принимает целочисленные значения, то закон распределения имеет вид

Следовательно,

66

Эти ряды предполагаются сходящимися. Найдем

7.2. Нахождение числовых характеристик биномиального распределения

1) Найдем числовые характеристики биномиального распределения методом производящей функции:

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия в биномиальном (распределении равны соответственно

М(Х)=np, D(X)=npq.

2) Нахождение числовых характеристик геометрического распределения.

Производящая функция имеет вид

67

бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому

7.3. Распределение Пуассона

Случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона с параметром λ>0, если ее возможные значения равны 0, 1, 2,..., а соответствующие вероятности определяются формулой

Для того, чтобы убедиться, что это действительно закон распределения, достаточно проверить, что сумма вероятностей

68

всех возможных значений равна единице:

Распределение Пуассона может быть получено из биномиального распределения путем предельного перехода, когда число испытаний стремится к бесконечности, а вероятность успеха стремится к нулю при условии, что

пр=λ=const, то есть п→∞, р→0, пр=λ=const.

Однако в пределах одной последовательности независимых испытаний ни то, ни другое по определению невозможно. Поэтому естественно введение следующей конструкции.

Представим себе, что произвели некоторую серию независимых испытаний, состоящую из конечного числа испытаний, затем новую серию, затем еще одну и т.д. Мы будем иметь последовательность серий испытаний. Пусть при каждом испытании каждой серии может наступить или не наступить некоторое событие А, то есть имеется всего два исхода, и пусть вероятность наступления при отдельном испытании остается постоянной в пределах каждой серии (как это требуется для последовательности независимых испытаний), но может меняться от серии к серии. В этих условиях справедлива следующая теорема.

Теорема Пуассона. Пусть дана последовательность {Sk} серий независимых испытаний, состоящих соответственно из 1, 2,..., п испытаний, и пусть вероятность рп события А при каждом иcпытании n-й серии равна λ/n, где λ – постоянная (не зависящая от п). Тогда вероятность Рn(k) того, что число наступлений события А в n-й- серии будет равно k, при п→∞ и фиксированном k стремится к (λk/k!)e-λ.

k

k ! e .

В связи с этой теоремой закон распределения интерпретируется как закон «редких» явлений.

Таким образом, при больших п и малых р формулу Пуассона можно использовать в качестве приближения вместо формулы Бернулли для вероятностей k успехов в п

Pn(k)

0,2

0,1

k

2 4 6 8

Распределение Пуассона является приемлемой моделью описания случайного числа появления определенных событий в фиксированном промежутке времени в фиксированной области пространства.

Пример. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в

70