Учебное пособие 2003

течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух электроэлементов за год?

Решение.

7.4. Числовые характеристики пуассоновского распределения

Пусть СВ X - число наступлений события А в n-й серии испытаний. Закон распределения X рассмотрен ранее. Найдем М(Х), D(Х).

Построим производящую функцию этого распределения

Отсюда

Таким образом, М(Х)=λ; D(X)=λ2+λ-λ2=λ.

Вывод. В распределении Пуассона математическое ожидание и дисперсия равняются параметру λ.

Пример. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие испортится, равно р=0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудет а) ровно три негодных изделия; б) не более трех негодных изделий.

Решение. Используем биномиальное распределение

Очевидно, что с помощью такой формулы вычисление вероятности затруднительно. Для упрощения вычислений

71

естественно заменить (приближенно) биномиальное распределение распределением Пуассона:

8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (ПАРАМЕТРЫ). ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ИНТЕРВАЛ. ПРАВИЛО 3ζ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА

8.1. Нормальное распределение

Непрерывная СВ X называется распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами т R и

ζ>0, если плотность распределения вероятностей имеет вид

Вероятностный смысл параметров m и ζ будет выяснен позже. Нормальное распределение занимает центральное место среди всех других распределений теории вероятностей.

График плотности распределения N(m,ζ) называют кривой Гаусса. Проведем исследование функции f(x) и выясним, как изменяется форма кривой Гаусса с изменением параметров m и ζ.

1. Область определения D(f)=R, f(х)>0 x R .

72

Очевидно, что при изменении параметра т кривая Гаусса, не меняя формы, смещается вдоль оси ОХ. При изменении параметра ζ кривая или растягивается в положительном направлении оси ОY (при убывании ζ), или сжимается к оси ОХ (при возрастании ζ).

8.2. Числовые характеристики нормального распределения

В силу симметричности функции плотности вероятностей сразу получаем M(Х)=m. Вычислим дисперсию. По определению

e 2 dx 2 .

Таким образом, D(Х)=ζ2, то есть ζ является средним квадратическим отклонением нормально распределенной СВ

X.

Вывод. Плотность распределения СВ, подчиняющейся

74

нормальному закону, определяется двумя параметрами т и ζ, являющимися соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением СВ.

8.3. Функция распределения вероятностей

По определению функция распределения вероятностей СB равна

Первый интеграл равен 0,5, а второй находится по таблицам.

интегралом Лапласа, интегралом вероятностей, или стандартной функцией ошибок. Закон распределения в этом случае обозначают N(0,1).

Следовательно, функция распределения вероятностей нормально распределенной СВ выражается через Ф(z) следующим образом:

В этом случае непрерывная СВ распределена по нормальному закону N(m,ζ).

8.4. Простейшие свойства интеграла вероятностей

Свойство 1. Ф(0)=0.

Свойство 2. Ф(-z)=-Ф(z), то есть функция Ф(z) нечетная.

75

Свойство 3. Ф(+∞)=0,5.

График функции имеет вид

Ф(z)

0,5

-0,5

Свойство 4. Функция Ф(z) очень энергично стремится к своему пределу 0,5 при z→∞. Это стремление определяется следующей асимптотической формулой:

справедливой при достаточно больших z.

8.5. Вероятность попадания в интервал. Правило 3σ

Вычислим вероятность отклонения случайной величины X от математического ожидания меньше чем на δ:

2 .

Рассмотрим частный случай, когда δ=3ζ. Тогда

Это означает, что с вероятностью 0,997, близкой к

76

единице (практически достоверно), вcе значения нормально распределенной СВ располагаются на интервале длиной 6ζ, симметричном относительно математического ожидания.

f (x)

Пример. Размер диаметра втулок подчиняется нормальному распределению с параметром M(Х) = 2,5 см, ζ=10-2 см. В каких границах можно практически достоверно гарантировать размеры диаметра втулок?

Решение. Р(|Х-М(Х)|<δ)=2Ф(δ/ζ)=2Ф(δ/0,01)=0,997. По таблице находим δ/0,01=2,98 и δ=0,0298. α=2,5±0,028 (см), 2,4702≤α≤2,5298.

Замечание. Часто рассматривают другую функцию:

равновесии при определенной температуре, является случайной величиной, подчиняющейся закону распределения

77

Максвелла c плотностью вероятностей, определенной формулой

абсолютная температура, k – постоянная Больцмана.

9. СОВМЕСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

9.1. Многомерные случайные величины

Часто в вероятностных моделях приходится рассматривать сразу несколько случайных величин. Например, при массовом изготовлении какой-нибудь детали на станке различные ее размеры образуют набор СВ, которые необходимо рассматривать в совокупности.

Х(ω)={X1(ω), Х2(ω),..., Хп(ω)} называется случайным вектором или п-мерной случайной величиной. Хk(ω) (k=1,2,...,п) называются координатами, или компонентами вектора X.

случайной величины (Х1, Х2,…,Хп).

Для наглядности и краткости записи в дальнейшем будем рассматривать в основном двумерную случайную величину. ФР двумерной СВ (двумерного случайного вектора) имеет вид

F(х,у)=Р(X<х, Y<у).

78

Геометрически ФР F(x,y) задает вероятность попадания точки (х,у) в бесконечный прямоугольник X<х, Y<у с вершиной (х,у) (заштрихованная часть на рисунке).

Рассмотрим кратко основные свойства двумерной ФР.

9.2. Свойства двумерной ФР

Свойство 1. ФР F(х,у) является неубывающей функцией по обоим аргументам F(x1,у)≤F(х2,у) при х1<х2 и F(x,y1)≤F(х,у2)

при y1<у2.

Свойство 2. F(х,у) непрерывна слева по каждому из аргументов.

Свойство 3.

F(-∞,у)= lim F (x, y) =0; F(x,-∞)= lim F (x, y) =0.

x y

Свойство 4.

Р{х1≤X<х2,у1≤Y<y2}=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)

(вероятность попасть в прямоугольник).

Свойство 5.

Это условие согласованности означает, что ФР отдельных компонент двумерного случайного вектора могут быть найдены предельным переходом из совместной ФР этих компонент (маргинальные распределения).

1. Докажем первое из неравенств свойства 1.

79