Учебное пособие 2003

Функцией распределения вероятностей СВ X

называется функция F(х) действительной переменной x (-∞<х<+∞), определяемая следующим образом: F(х)=Р(Х<х).

Так как F(х) определяется как вероятность, то 0≤F(х)≤1. Используя определение F(х), можно находить вероятности всевозможных интервальных событий, связанных со СВ X.

Действительно, для событий справедливы равенства

Х х Х x , (x1≤X<x2)=(X<x2)\(X<x1),

Х х х Х x 1/ n .

п 1

Отсюда следует, что Р(Х≥х)=1-Р(Х<х)=1-F(х).

Используя аксиому сложения, можно получить

Р(x1≤X<x2)=Р(Х<x2)-Р(Х<x1)=F(x2)-F(x1).

Если Х – непрерывная СВ, то искомая вероятность Р(x1≤X<x2) есть длина заштрихованного отрезка.

F(х)

F(х2)

F(х1)

Нахождение вероятности события (Х=х) более сложно, поэтому мы приводим эту формулу без доказательства

Р(Х=х)=F(x+0)-F(x).

Замечание. Функция распределения вероятностей считается непрерывной слева.

5.3. Свойства функции распределения

Свойство 1. F(x) монотонно не убывает, т.е. если х1≤х2,

то F(х1)≤F(х2).

51

Действительно, так как Р(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1) и

невозможного события, второе - вероятность достоверного события. Таким образом, F(х) любой СВ является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условиям 0≤F(х)≤1, F(-∞)=0; F(+∞)=1 функцией.

Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой СВ.

Однако, если каждая. СВ однозначно определяет свою функцию распределения, то для каждой функции распределения существует сколько угодно различных СВ, описываемых ею.

5.4. Дискретные и непрерывные случайные величины

СВ X называется дискретной СВ (ДСВ), если множество {х1,...,хп} ее возможных значений конечно или

Законом распределения ДСВ называется перечень значений, которые принимает эта СВ, и соответствующих им вероятностей.

На практике закон распределения ДСВ задается в виде таблицы, которую называют еще рядом распределения.

Зная закон распределения ДСВ, можно найти функцию распределения с помощью равенства

Суммирование в этом равенстве распространяется на все те индексы k, для которых хk<х. Так как Р(Х=xk)=F(xk+0)- F(xk), xk {x1, x2,...}, то очевидно, что функция распределения

имеет скачки при тех значениях х, которые являются ее возможными значениями. Величина скачка в точке х=xk как раз

равна вероятности СВ принятия данного значения.

Пример. В урне имеется четыре шара с номерами от 1 до 4. Извлекли два шара. Найти закон распределения и функцию распределения СВ X суммы номеров извлеченных шаров.

Решение. Ω={(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}.

Закон распределения имеет вид

График F(x) имеет вид

53

Примep. Для установления связи между двумя объектами посылаются сигналы до установления связи. Вероятность приема сигнала р. Найти распределение вероятностей числа сигналов, необходимых для установления связи. Построить функцию распределения вероятностей.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что связь установлена, а через X - число вызовов, необходимых для установления связи; Р(А)=р; Р( А )=q=1-р. Вероятностное распределение СВ X задается таблицей

Распределение вероятностей числа сигналов, необходимых для связи, задается геометрической прогрессией. Проверим, что распределение вероятностное, т.е. сумма всех вероятностей равна единице:

распределением дискретной случайной величины, принимающей целочисленные значения k=0, 1, 2,..., п.

Свое название этот закон получил потому, что правая часть формулы (3) представляет собой общий член разложения

закону Bp(n,.k).

Пример. Вероятность попадания стрелка при одном выстреле р=0,3. Найти закон распределения для СВ X - числа попаданий при 3 выстрелах.

Решение. Обозначим попадание через Y, непопадание - Н. Тогда

Ω={(НHН),(YHH),(HYH),(HHY),(YYH),(YHY),(HYY), (YYY)},

3

P X k 1

k 1

Непрерывной случайной величиной X называется СВ,

имеющая функцию распределения, которая дифференцируема почти всюду.

Вероятностной характеристикой непрерывной СB является плотность распределения вероятностей. Введем это понятие следующим образом. Рассмотрим вероятность того,

55

что СВ X принимает значения, лежащие в полусегменте от х до

Определение. Если существует предел средней плотности распределения вероятностей при х→0, то он называется плотностью распределения вероятностей СВ Х в точке х и обозначается f(x):

Найдем связь между двумя вероятностными характеристиками непрерывной СВ-функцией и плотностью распределения вероятностей F(х) и f(х). Из определения f(х) и

(1) следует

Найдем обратную связь. Пусть задано f(x), найдем F(x). Из (2) имеем f(x)dx=dF. Интегрируя это равенство от -∞ до х, получаем

вероятностей постоянна на данном отрезке:

Равномерное распределение реализуется в экспериментах по измерению тех или иных физических величин с округлением (СВ X - ошибка округления),

Найдем функцию распределения вероятностей (ФР) для равномерно раcпределенной СВ:

Равномерное распределение широко используется в статистическом моделировании (метод Монте - Карло).

1

b a

1

2) Показательное (экспоненциальное) распределение. Непрерывная случайная величина X называется

распределенной по показательному закону с параметром λ>0,

.если ее плотность распределения вероятностей задается формулой

Найдем функцию распределения

то есть

Показательное распределение является непрерывным аналогом геометрического распределения.

λ

1

Показательное распределение часто встречается в теории массового обслуживания (например, Х – время ожидания при технологическом обслуживании или Х – длительность телефонных разговоров) и в теории надежности (например, Х – срок службы радиоэлектронной аппаратуры)

6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ.

ДИСПЕРСИЯ. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ. МОДА, МЕДИАНА. НАЧАЛЬНЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ. КВАНТИЛЬ. КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА

6.1. Математическое ожидание

Функция распределения дает исчерпывающую характеристику случайной величины. Однако во многих задачах приложений такая полная характеристика СВ, с одной стороны, часто недоступна для исследования, а с другой

59

стороны, и не обязательна, потому что бывает достаточно ограничиться значением некоторых параметров распределения.

Эти параметры называют числовыми характеристиками СВ.

Различают характеристики положения и характеристики рассеивания. Основной характеристикой положения является среднее значение СВ, вокруг которого группируются все ее возможные значения. Эту характеристику называют

математическим ожиданием.

Математическим ожиданием М(Х) называют действительное число, определенное в зависимости от типа СВ X формулой

k

М(Х)=

xf x dx для непрерывной СВ.

-

Очевидно, что М(Х) существует, если ряд для дискретной СВ и интеграл для непрерывной СВ абсолютно сходятся.

6.2. Простейшие свойства

Свойство 1. Пусть Х=с, с=const. Тогда М(Х)=с. Действительно,

то есть если СВ принимает одно и то же значение, то естественно в среднем ожидать то же значение.

Свойство 2. М(сХ)=сМ(Х). Пусть СВ задана законом распределения

Тогда закон распределения CВ cХ имеет вид

60