Учебное пособие 2003

Пример 3. Стрельба по плоской мишени. Мишень – прямоугольник со сторонами 2а и 2b. В плоскости мишени введем прямоугольную систему координат ХОY с началом в центре прямоугольника. Каждому исходу-попаданию в определенную точку мишени поставим в соответствие координаты этой точки. Тогда пространством элементарных событий этого эксперимента будет множество

x, y , a x a, b y b .

Пример 4. Эксперимент состоит в радиолокационном обнаружении воздушной цели. Наблюдаемый результат - положение светящегося пятна (отраженного импульса от цели) на экране индикатора цели, имеющего форму круга радиуса 10 см, в декартовой системе координат с началом, совпадающим с

элементарного исхода являются в данном случае координаты случайной точки на плоскости, соответствующей, например,

1.3. Случайные события

Прежде чем дать общее определение случайного события, рассмотрим частный случай. В приведенном выше примере 2 можно рассматривать событие, состоящее в том, что выпало четное число очков. Очевидно, что это событие А происходит только в том случае, когда осуществилось одно из трех элементарных событий ω2, ω4, ω6, то есть А={ω2, ω4, ω6} есть часть множества Ω, его подмножество.

Пусть теперь Ω - произвольное пространство элементарных событий. Случайным событием (или просто событием) будем называть всякое подмножество пространства элементарных событий. С этой точки зрения элементарные события – это одноэлементные подмножества множества Ω.

Случайные события будем обозначать в

11

дальнейшем большими латинскими буквами А,В,С,... .

Невозможным событием называется событие,

совпадающее с пустым множеством пространства элементарных событий, и обозначаемое символом Ø. Другими словами невозможным называется событие, которое не может произойти в результате опыта.

Достоверным событием называется событие,

совпадающее со всем пространством элементарных событий Ω. Иначе, достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате опыта.

1.4. Алгебраические операции над событиями

События А и В называются равными (равносильными) А=В, если они состоят из одних и тех же элементарных событий.

Событие В есть следствие события А, если содержит все элементарные события, входящие в А, другими словами, если В происходит всякий раз, когда произошло А. Обозначается этот факт так А В.

Суммой двух событий А и В одного и того же пространства элементарных событий Ω называется событие А+В (А В), состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих, по крайней мере, одному из событий А или В. Другими словами, событие А+В состоит в том, что в реальном опыте произошло либо событие А, либо В, либо и то, и другое.

Произведением событий А Ω и В Ω называется событие А·В (А В), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А, и В. Другими словами событие АВ происходит тогда и только тогда, когда происходит и событие А, и событие В.

Разностью событий А и В называется событие А\B, состоящее из элементарных событий, принадлежащих А и не принадлежащих В.

12

На описательном языке это означает, что событие А произошло, а событие В не произошло,

Событие А \ A называется противоположным событию А.

При доказательстве некоторых утверждений в алгебре событий полезной оказывается геометрическая иллюстрация событий, трактуемых как попадание точки в область, соответствующую событию. Условно изображая события в виде различных областей на плоскости, получаем так называемые диаграммы Венна. Приведем их для введенных операций.

событий обобщаются на любое (в том числе и бесконечное) число событий. В этом случае пишут:

Используя приведенные выше определения, легко доказать, что операции сложения, умножения и перехода к противоположному событию обладают следующими

Кроме этих трех основных свойств алгебраических операций отметим следующие (доказатъ самим):

А+А=А, АА=А, А+Ø=А, АØ=Ø, А+Ω=Ω, АΩ=А.

При решении задач часто оказываются полезными следующие равенства (доказать самим):

А В АВ; АВ А В (правило де Моргана)

Пример использования алгебраических операций над событиями. Пусть имеются две электрические цепи

Обозначим через А событие, состоящее в том, что светится лампочка L1, В – светится лапочка L2, С – в цепи течет ток. Тогда для первой цепи С=А+В, для второй С=АВ.

События А и В, принадлежащие Ω, называются несовместными, если АВ=Ø. Другими словами, события А и В несовместны, если они не имеют общих элементарных событий.

Пример. Записать сумму А+В событий А и В в виде суммы двух несовместных событий.

Решение. Пусть ω А+В. Это означает, что или ω А,

1.5. Алгебра событий

Пусть Ω - произвольное пространство элементарных событий.

Система подмножеств множества Ω называется алгеброй событий, если выполняются следующие условия:

14

1.;

Ω называется алгеброй событий, если в результате применения любой из описанных выше операций к любым двум элементам системы снова получается элемент данной системы.

Под наблюдаемым событием понимается такое подмножество множества Ω, которое одновременно принадлежит и алгебре .

Если Ω - конечное множество, состоящее из N элементов, то число всех его подмножеств тоже конечно и равно 2N. Для таких экспериментов множество всех подмножеств образует алгебру, то есть любое подмножество множества Ω может интерпретироваться как наблюдаемое событие.

В тех случаях, когда Ω - счетное или непрерывное множество, необходимо потребовать, чтобы система подмножеств множества Ω была замкнута относительно алгебраических операций над счетным числом событий.

Алгебра событий называется ζ-алгеброй, если из того,

ζ-алгебру событий иногда называют полем событий.

2. ЧАСТОТА. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. ОСНОВНЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ ВЕРОЯТНОСТИ. ДИСКРЕТНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО. КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХЕМА

2.1.Частота. Статистическое определение вероятности

Как уже отмечалось в 1.1, для количественного

15

описания степени объективной возможности наступления некоторого наблюдаемого в эксперименте события А вводится специальная числовая функция Р(А), называемая вероятностью события А. Исторически к понятию вероятности пришли экспериментальным путем, наблюдая за частотой появления того или иного исхода опыта при его многократном повторении. Пусть некоторый опыт (испытание) повторяется п раз. Нас будет интересовать появление события А в каждом опыте.

Относительной частотой Wn(А) осуществления события А в серии из п испытаний называется отношение числа К(А) испытаний, в которых появилось событие А, к

Если многократно повторять серию из п опытов, то частота Wn(А) будет при этом, вообще говоря, меняться. Однако экспериментально установлено, что по мере увеличения числа повторных испытаний наблюдается тенденция к стабилизации относительной частоты около некоторого постоянного (и неслучайного) для данного события А в данном эксперименте значения Р*(А). Это свойство называется свойством ycтойчивости относительной частоты. Число Р*(А), определяемое соотношением Wn(А)→Р*(А) при

п →∞, называется вероятностью события А.

Такое определение называется статистическим определением вероятности.

Благодаря свойству устойчивости относительная частота может служить приближенной оценкой вероятности события, причем тем более точной, чем большее число испытаний проведено.

1. Если А - невозможное событие, то есть А=Ø, то Wn(А)=0. Действительно, для невозможного события число его

появлений Кп(А)=0. Отсюда Wn(A=Ø)= 0п =0.

16

2. Если А - достоверное событие, то есть А=Ω, то Wn(Ω)=1. Достоверное событие происходит во всех

испытаниях, поэтому К(А=Ω)=п и Wn(A=Ω)= пп =1.

3.Для любого события А 0≤Wn(A)≤1. Действительно, для любого события А 0≤Кп(А)≤п, отсюда и следует что

0≤Wn(A)≤1.

4.Если события А и В несовместны, то

Wп(А+В)=Wп(А)+Wп(В). Пусть в п опытах событие А наступило К(А) раз, а событие В - К(В) раз. Тогда

Так как события А и В несовместны, то есть А и В не могут произойти одновременно, то К(А или В) = К(А)+К(В), отсюда

Очевидно, что такими же свойствами обладает статистическая вероятность Р*(А). Казалось бы естественным принять данное выше статистическое определение вероятности и в общем случае. Но такое определение оказывается неудобным. Прежде всего потому, что последовательность частот Wn(А) появления некоторого события А при проведении одной серии опытов будет, вообще говоря, отличаться от таковой в другой серии опытов. Kpoме того, на самом деле мы будем иметь дело не с бесконечной последовательностью частот, а с конечным числом ее элементов. Получить всю последовательность невозможно. Сказанное говорит о том, что в общем случае должно быть

17

принято другое определение вероятности, но такое, которое не исключало бы свойства устойчивости частот, а также другие отмеченные выше свойства. Ниже будет рассмотрено аксиоматическое определение понятия вероятности, причем будем следовать аксиоматике введенной в теорию вероятностей А.Н.Колмогоровым в 1933 г.

2. 2. Аксиоматическое определение вероятности

При аксиоматическом подходе к построению основ теории вероятностей за аксиомы принимаются основные свойства вероятности, подмеченные на примере ее статистического определения. Сформулируем эти аксиомы. Пусть - алгебра событий для данного эксперимента.

Вероятостью Р(А) называется числовая функция, определенная для всех А и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей):

1)Р(А)≥0 (аксиома неотрицательности);

2)Р(Ω)=1 (аксиома нормированности);

3)если А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (аксиома конечной аддитивности).

Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы еще одной:

4)Если в последовательности A1, А2,...,Аk,… события

аддитивности).

Тройку (Ω, ,Р(·)), в которой является ζ-алгеброй, а Р(·) удовлетворяет аксиомам 1-4, называют вероятностным пространством стохастического эксперимента.

18

Отметим, что система аксиом теории вероятностей непротиворечива, так как существуют Ω, , и Р(·), удовлетворяющие этим аксиомам, и неполна, так как вероятность можно определить многими способами в рамках аксиом 1-4.

Из сформулированных аксиом выведем несколько важных элементарных следствий.

2.3.Следствия из аксиом вероятности

1.Вероятность невозможного события равна нулю Р(Ø)=0. Так как Ω=Ø+Ω и ØΩ=Ø, то по аксиоме 3

Р(Ω)=Р(Ø+Ω)=Р(Ø)+Р(Ω)=Р(Ø)+1=1 Р(Ø)=Ø.

2. Для любого события Р(А)=1-Р( А ). Действительно,

А А , АА Ø по аксиоме 3 Р А А Р А Р А Р 1 Р А 1 Р А .

3. Если А влечет за собой В, то есть А В, то Р(А)≤Р(В). Представим событие В в виде суммы несовместных событий В=А+ВĀ и применим аксиому 3:

Р(В)=Р(А+BĀ)=Р(А)+Р(ВĀ) Р(В)-Р(А)=Р(ВĀ).

Но согласно аксиоме 1 Р(ВА)≥0. Отсюда Р(В)≥Р(А).

4.Для любого случайного события А выполняется неравенство 0≤Р(А)≤1.

Из соотношения 0≤А≤Ω, справедливого для любого события А, и из свойства 3 следует свойство 4.

5.Теорема сложения.

Для любых событий А и В имеет место формула Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Пусть А и В - два произвольных события из одного

пространства элементарных событий. Тогда А+В=А+В А ,

В=В(А+ А )=ВА+В А .

Согласно аксиоме 3 Р(А+В)=Р(А+В А )=Р(А)+Р(В А ) и

Р(В)=Р(ВА+В А )=Р(АВ)+P(B А ).

19

Вычитая из первого равенства второе, получаем Р(А+В)-Р(В)=Р(А)-Р(АВ).

Отсюда и вытекает следствие 5.

6.Для любых событий А и В Р(А+В)≤Р(А)+Р(В). Это неравенство сразу получается из теоремы сложения, причем равенство выполняется для несовместных событий.

7.Пусть совокупность событий (Н1,Н2,...,Нп) образует полную группу событий в пространстве элементарных

событий Ω и Нi , i=1, 2,..., п. Тогда в силу аксиом 2,3

Р(Ω)=Р(Н1+Н2+...+Hn)=P(H1)+P(H2)+...+P(Hn)=1.

Это означает, что единичная вероятность достоверного события распределяется по множеству несовместных событий, образующих полную группу.

В общем случае соответствие между событиями некоторого поля событий и их вероятностями называют

Система аксиом 1-4 вероятностного пространства дает самую общую математическую модель случайных явлений. В дальнейшем различные частные случаи общей математической модели мы часто будем называть схемами, указывая каждый раз на их характерные особенности.

Приведем теперь несколько важных случаев вероятностных пространств.

2.4. Дискретное вероятностное пространство

Вероятностное пространство (Ω, ,Р(·)) называется дискретным, если Ω={ωi1, ωi2,...} является конечным или счетным множеством, - ζ-алгеброй вcех подмножеств множества Ω (включая пустое множество), а вероятность Р(·)