Учебное пособие 2003

Любое событие А в этой схеме имеет вид А={ωi1, ωi2,...} и может быть представлено как объединение входящих в него событий

А=ωi1+ωi2+...= ωik .

k ik A

При этом согласно аксиоме 3 счетной аддитивности вероятность любого события А F приведенного вида определяется равенством

Нетрудно проверить выполнение всех аксиом теории вероятностей для этой схемы.

Простейшим частным случаем дискретного вероятностного пространства является так называемая

классическая вероятностная схема (схема урн - исторически первая схема, в рамках которой начала свое развитие теория вероятностей).

2.5. Классическая вероятностная схема

Классическая вероятностная схема - это дискретное вероятностное пространство, в котором Ω представляет собой конечное множество равновозможных исходов, то есть

Ω={ω1, ω2,...,ωп} и Р(ω1)=Р(ω2)=…=Р(ωп)= 1п .

Любое событие А в этой схеме может быть записано в

виде

А={ωi1, ωi2,...,ωim}=ωi1+ωi2+…+ωim (m≤n),

и вероятность ого осуществления определяется по формуле

21

Р(А)=Р(ωi+ωi+…+ ωim)=Р(ωi)+Р(ωi)+…+Р(ωi)= тп .

Эту формулу называют классическим определением вероятности. Элементарные события, составляющие событие А, часто называют исходами, благоприятствующими событию А, и тогда классическое определение вероятности формулируют следующим образом.

В классической вероятностной схеме вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных исходов опыта.

Выполнение всех аксиом для классической схемы проверить самим. Классическая вероятностная cхема является хорошей математической моделью тех случайных явлений, для которых элементарные исходы опыта обладают определенной симметрией по отношению к условиям проведения опыта, так что заранее нет оснований считать какой-либо из исходов предпочтительней другого.

Пример. В партии N изделий. Из них М бракованных. Выбирается r изделий. Найти вероятность того, что k из них бракованные.

Возьмем всевозможные наборы по r изделий. Под событием А будем понимать выборку из r штук изделий, в которой k штук бракованных. Очевидно, всего групп по r изделий, взятых из N изделий, равно

СrN n .

Вычислим т – число событий, благоприятствующих событию А, то есть найдем число групп из r изделий, имеющих структуру: k - бракованных, а остальные r-k - хорошие. Всего хороших изделий N-M, бракованных - М штук. Из этих М бракованных k штук можно выбирать количеством способов,

равным СkM . Оставшееся число хороших деталей N-M можно выбрать таким количеством способов: СrN-Mk . Но так как любая

22

группа бракованных изделий может сочетаться с любой группой хороших деталей, то m СrN-Mk СMk . Итак, вероятность

того, что в выборке из r изделий ровно k бракованных, равна по классическому определению вероятности

Пример. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу четыре карты. Найти вероятность события А, состоящего в том, что в полученной выборке все карты – бубновой масти.

В данном методе решения задачи не будем учитывать порядок выбора карт. Тогда общее число элементарных исходов определяется как число сочетаний из 52 по 4 карты,

Пример. На карточках написаны буквы А, Е, К, Р. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «река»?

Различные расположения четырех карточек отличаются одно от другого только их порядком. Поэтому общее число исходов n P4 . Число благоприятных исходов

Пример. Десять человек случайным образом садятся за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

Очевидно, общее число возможных исходов n 10! Два выбранных лица могут сесть рядом 20 способами (один из них может выбрать себе место 10 способами, а тогда второй может сесть или слева, или справа от него). Оставшиеся 8 мест могут быть распределены среди остальных лиц числом способов,

23

Пример. Множество состоит из 10 первых букв русского алфавита. Опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв и записи слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что наудачу составленное слово будет заканчиваться буквой «а»?

Число всевозможных исходов опыта равно числу 4- элементных упорядоченных подмножеств из 10 элементов,

Пример. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:

А – все пассажиры выйдут на четвертом этаже; В – все пассажиры выйдут одновременно (на одном и

том же этаже); С – все пассажиры выйдут на разных этажах.

Общее число исходов n 63 , так как для каждого из трех пассажиров имеется 6 возможных этажей для выхода.

Число исходов, благоприятствующих событию А m 1, событию В m 6 (все выйдут на первом, втором и т.д. этажах), событию С m C63 (таким количеством способов можно

распределить трех пассажиров по шести этажам). Следовательно,

Пример. В технической библиотеке имеются книги по

24

математике, физике, химии и т.д., всего по 16 разделам науки. Поступили очередные четыре заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятности следующих событий:

А – заказаны книги из различных разделов науки; В – заказаны книги из одного и того же раздела науки; Число всех исходов опыта равно, очевидно, числу

сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4, т.е.

Число исходов, благоприятствующих событию А ,

равно числу способов отобрать без возвращения 4 элемента из 16,

Число исходов, благоприятствующих событию В,

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ.

3.1. Геометрические вероятности

неприменима. Пусть Ω - некоторая область плоскости (часть прямой, часть пространства). Событие А состоит в том, что точка, брошенная на плоскость, попадет в область А подобласти Ω. Попадание в Ω считается достоверным событием, а площадь Ω - конечной. Каждой точке области Ω

25

поставим в соответствие элементарное событие - попадание в эту точку.

Вероятность события А можно вычислить при одном предположении, которое соответствует требованию равновероятности элементарных событий в схеме урн.

Теорема. Пусть вероятность Р(А) попадания в любую область А Ω пропорциональна площади этой области и, следовательно, не зависит от места расположения А в Ω и формы области А. Тогда Р(А) равна отношению площади области А к площади области Ω, то есть

РА SA . SΩ

Действительно, по условиям теоремы Р(А)=kSA, где k – коэффициент пропорциональности. Если вместо А выбрать Ω,

Замечание. Приведенное определение геометрической вероятности является частным случаем общего определения. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область А- часть области Ω, равна

Пример. В любой момент времени промежутка Т равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник забит, если разность моментов поступления сигналов меньше η. Какова вероятность того, что приемник будет забит?

Это типичная задача "о встрече". Откладываем на оси ОХ множество всевозможных моментов поступления первого сигнала, а на оси OY -моменты поступления в приемник второго сигнала.

26

Y

T

T X

По условию задачи моменты поступления сигналов рассматриваются как некоторые значения из интервала (0, Т). Поступление в приемник двух сигналов соответственно в моменты х и у можно рассматривать как бросание точки (х,у) в квадрат со стороной Т. Если для точки с координатами (х,у) справедливо неравенство | х – у |<η, то приемник забит, во всех остальных точках не забит. Проведем прямые у=х η. Они определяют вместе со сторонами квадрата требуемую область А -совокупность точек (х,у), для которых приемник забит. По предположению все положения точки попадания в квадрат равноправны, поэтому можно воспользоваться геометрическими вероятностями при подсчете вероятности события А:

Пример. Два самолета должны прибыть на аэродром между 12 и 13 часами. Время их стоянки на аэродроме 20 минут. Какова вероятность Р(А) встречи этих самолетов на

Пример. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние не меньше l.

27

Требование задачи будет выполнено, если точка С

Пример. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не

3.2. Условная вероятность

При анализе того или иного явления наблюдатель часто задается вопросом: как влияет на вероятность осуществления данного события А наступление некоторого другого события В? Возможна, например, ситуация, когда наступление события

28

В исключает появление события А или, наоборот, приводит к обязательному осуществлению события А. В теории вероятностей характеристикой связи событий А и В служит так называемая условная вероятность.

Условной вероятностью события А по отношению к событию В называется вероятность Р(А/В) осуществления события А, определенная в предположении, что событие В произошло. Рассмотрим задачу нахождения условной вероятности в классической вероятностной схеме.

Пусть пространство элементарных событий Ω состоит из N(Ω)=n несовместимых равновозможных исходов: Ω={ω1,

ω2,…,ωn}, при этом событию А={ωi1, ωi2,…,ωin}

событию В={ωj1, ωj2,…,ωjk} благоприятствуют N(B)=k исходов

ωij2,…,ωijr} благоприятствуют N(AB)=r исходов опыта и

P AB nr .

Если событие В произошло, то это значит, что осуществилось одно из событий ωj, благоприятствующих событию В. При этом событию А благоприятствует r и только

r событий ωij, входящих в АВ. Таким образом,

Аналогично получается формула для вычисления условной вероятности события В в предположении, что А

При аксиоматическом подходе к построению теории вероятностей формулы (1) или (2) принимаются за определение условной вероятности. Число Р(А/В), определяемое равенством

называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло. Для условной вероятности применяется также обозначение РВ(А). Нетрудно проверить, что введенная вероятность удовлетворяет всем аксиомам теории вероятностей. Действительно:

Аналогично проверяется аксиома счетной аддитивности. Пример. В урне находится 3 белых и 4 черных шара.

Рассмотрим вначале урну без возвращения. Пусть событие А – при первом извлечении достаем белый шар, событие В - при

Вычислим Р(В/А), т.е. вероятность события В в

из урны произошло событие Ā – вынули черный шар.

30