Учебное пособие 1865

Они весьма просто выражаются через тригонометрические функции:

и поэтому несущественно отличаются от последних.

Пример 4.6. Найти Arcsin 2.

Решение. По формуле (4.4)

(мы поставили "±" перед корнем, поскольку 3 обычно понимается как арифметическое значение корня). Для вычисления логарифма используем формулу (4.5), в которой

Эта функция имеет важные применения в теории крыла самолета, а также весьма полезна при построении ряда конформных отображений. Она аналитична всюду в , кроме точек z = 0 и z = ∞. Производная

ω′ = 12 (1− z12 )

81

существует всюду в , за исключением точек z = 0 и z = ∞, и обращается в нуль при z = ±1. Поэтому отображение (12.6) конформно всюду, кроме точек 0, ±1 и ∞.

Выясним, при каком условии две различные точки переходят в одну и ту же точку. Пусть z1 ≠ z2 и

1(z1 + 1 ) = 1 (z2 + 1 ) .

2z1 2 z2

Поэтому для однолистности функции Жуковского в некоторой области D необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала пары различных точек, удовлетворяющих условию

Чтобы наглядно представить себе отображение (4.6), выясним, в какие кривые оно переводит окружности (показаны на рис. 4.9, а сплошными линиями) и лучи (показаны

82

Возводя эти равенства в квадрат, вычитая из первого второе и

Уравнение (4.10) является уравнением гиперболы с полуосями aϕ0 = cosϕ0 , bϕ0 = sinϕ0 . Следовательно, лучи ϕ =ϕ0

отображаются в части гипербол (рис. 4.9, б).

Таким образом, функция Жуковского взаимнооднозначно и конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка [-1,1].

Из (4.6) легко видеть, что ω(z) =ω(1z) . Функция ω =1z взаимно-однозначно и конформно отображает внутренность круга z <1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что

функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [-1,1].

84

5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 5.1. Интеграл от функции комплексного переменного

Рассмотрим гладкую кривую Г на комплексной плоскости, заданную параметрическими уравнениями

Как уже отмечалось, эти уравнения можно записать в компактной форме:

При изменении параметра t от α до β соответствующая точка

z(t) будет двигаться по кривой Г. Поэтому уравнения (1.1) и (1.2) не только определяют точки кривой Г, но и задают направление обхода этой кривой. Кривая Г с заданным направлением ее обхода называется ориентированной кривой.

Пусть в области D задана непрерывная функция f(z)= и(х,у) + iv(x,y), и пусть кривая Г лежит в D. Чтобы ввести

понятие интеграла ∫ f (z)dz от функции f(z) по кривой Г,

Г

определим дифференциал dz равенством dz = dx + idy. Подынтегральное выражение преобразуется к виду

f(z) dz = (и + iv)(dx + idy) = (udx — v dy) + i(v dx + и dy).

Таким образом, интеграл от комплексной функции f(z) по кривой Г естественно определить равенством

в правую часть которого входят два действительных криволинейных интеграла второго рода от действительных функций и и v. Для вычисления этих интегралов следует

85

вместо х и у подставить функции x(t) и y(t), а вместо dx и dy — дифференциалы этих функций dx = х'(t)dt и dy = y'(t)dt. Тогда интегралы в правой части (1.3) сведутся к двум интегралам от функций действительного переменного t по отрезку (α, β) :

Это выражение легко преобразуется к виду

Теперь мы готовы дать следующее определение.

Интегралом вдоль кривой Г от функции комплексного переменного f(z) называется число, обозначаемое ∫ f (z)dz и

где z(t) = x(t) + iy(t), α ≤ t ≤ β , — уравнение кривой Г, a z'(t) =

= x'(t)+iy'(t).

Пример 1.1. Вычислить интеграл от функции f(z) = =(z - а)п по окружности радиуса r с центром а, направление обхода которой — против часовой стрелки.

Решение. Уравнение окружности z −a = r будет z −a = reit , или

z(t) = а + r(cost + i sint), 0 ≤ t ≤ 2π .

86

При изменении t от 0 до 2π точка z(t) движется по окружности Г против часовой стрелки. Тогда

f(z(t)) = (z(t) -а)п = rn(cost + i sint)n; z'(t) = r(— sint + i cost) = ir(cos t + i sint).

Применяя равенство (1.5) и формулу Муавра (2.12), получаем

При n ≠ −1 оба последних интеграла равны нулю. При п = −1 имеем

Мы получили результат, важный для дальнейшего изложения:

Заметим, что значение интеграла не зависит от радиуса r окружности.

Пример 1.2. Вычислить интеграл от функции f(z) = 1 по гладкой кривой Г с началом в точке а и концом в точке b.

Решение. Пусть кривая Г задается уравнением z(t) = =x(t)+ iy(t), α ≤ t ≤ β , причем а = z(α ), b = z( β ). Используя

формулу (1.5), а также формулу Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов от действительных функций, получим

87

соединяющего точки а и b, а зависит только от концевых точек.

Изложим вкратце другой подход к определению интеграла от комплексной функции f(z) по кривой, аналогичный определению интеграла от действительной функции по отрезку.

Разобьем кривую Г произвольным образом на п участков

которые разбита кривая Г. Рассмотрим последовательность разбиений, для которой λ → 0 (при этом n → ∞).

88

Предел интегральных сумм, вычисленный при условии, что длина наибольшего из участков разбиения стремится к нулю, называется интеграломот функции f(z) по кривой Г и

обозначается ∫ f (z)dz :

Γ

Можно показать, что это определение также приводит нас к формуле (1.3) и, следовательно, эквивалентно определению (1.5), данному выше.

Установим основные свойства интеграла ∫ f (z)dz .

Γ

1°. Линейность. Длялюбыхкомплексныхпостоянныхаиb

∫(af (z) +bg(z))dz = a∫ f (z)dz +b∫g(z)dz

Γ Γ Γ

Это свойство следует из равенства (1.5) и соответствующих свойств интеграла по отрезку.

2°. Аддитивность. Если кривая Г разбита на участки Г1 и Г2, то

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz

ΓΓ1 Γ2

Доказательство. Пусть кривая Г с концами а, b разбита точкой с на две части: кривую Г1 с концами а, с и кривую Г2 с концами с, b. Пусть Г задается уравнением z = z(t), α ≤ t ≤ β , причем а = z(α ), b = z( β ), с = z(γ) . Тогда

соответствующие свойства интеграла по отрезку, получим

89