Учебное пособие 1865

Можно доказать, что при стереографической проекции

окрестности будут соответствовать точки z , лежащие вне некоторого круга с центром в начале координат. Это показывает естественность следующего определения.

Окрестностью бесконечно удаленной точки называется множество, состоящее из точек z , для которых z > R , и

самой точки z = ∞ , т.е. внешность круга радиуса R с центром в начале координат с добавлением самой точки z = ∞ .

2.2. Последовательности комплексных чисел и пределы последовательностей

Пусть каждому натуральному числу n = 1,2,... поставлено

числа ε найдется такой номер N (зависящий от ε ), что при всех n > N выполнено неравенство zn − A <ε .

Выполнение этого условия означает, что для сколь угодно малой ε -окрестности точки А все точки zn с номерами

n > N попадут в эту окрестность, а вне ее останется лишь конечное число точек zn .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Наличие предела А у последовательности {zn}

22

Данное определение совпадает с определением предела последовательности действительных чисел.

Теорема 2.1. Для того чтобы последовательность

Возьмем любое ε > 0 . Так как lim zn = A , то найдется такой

n→∞

номер N, что при n > N выполнено неравенство zn − A <ε . Из (2.2) вытекает, что

xn −a <ε , yn −b <ε при n > N.

По определению предела последовательности действительных

23

(мы пользуемся определением предела последовательности действительных чисел). Аналогично, из условия

lim yn = b следует существование такого номера N2 , что при

n→∞

n > N2

Возьмем N = max{N1, N2}. Тогда при n > N будут выполняться оба неравенства (2.3), (2.4). Из равенства (2.1) получим

Итак, для любого ε > 0 найдется такой номер N, что при n > N выполнено неравенство zn − A <ε . Это и означает, что

lim zn = A . Теорема 2.1 доказана.

n→∞

Используя теорему 2.1 нетрудно показать, что сходящиеся последовательности комплексных чисел имеют те же свойства, что и сходящиеся последовательности действительных чисел:

24

(зависящий от R), что при всех n > N выполняется неравенство zn > R .

Понятия бесконечно удаленной точки и ее окрестности, позволяют переформулировать это определение следующим образом:

lim zn = ∞, если для любой окрестности точки A = ∞ все

n→∞

точки zn с номерами n > N попадут в эту окрестность.

В таком виде определения конечного и бесконечного пределов аналогичны друг другу.

2.3. Понятие функции комплексного переменного. Предел и непрерывность

Пусть D — некоторое множество комплексных чисел.

Однозначной функцией комплексного переменного называется правило (закон), по которому каждому комплексному числу z из множества D соответствует единственное комплексное число ω .

Такое соответствие обозначается ω = f (z) , или f : z →ω . Множество D называется множеством (областью)

функция определена на всей плоскости комплексного переменного z, а если положить f (∞) = ∞, то она будет

определена и на всей расширенной комплексной плоскости. Если обозначить z = x +iy , ω = u +iv , то задание функции

ω = f (z) комплексного переменного равносильно заданию на

том же множестве двух функций действительных переменных x, у, принимающих действительные значения: u = u(x, y) ,

v = v(x, y) . Например, для функции ω = z2 имеем u = x2 − y2 , v = 2xy .

25

Наряду с плоскостью переменного z = x +iy , рассмотрим

координатами (x, y) ставит в соответствие вполне определенную точку ω = u +iv с координатами (u, v) ; когда

точка z пробегает множество D на плоскости переменного z, соответствующая точка ω пробегает на плоскости переменного ω другое множество Е. Таким образом, однозначная функция ω = f (z) отображает множество D на

множество Е, т.е. каждой точке z D ставит в соответствие точку ω E . Точка ω называется образом точки z, а точка z

— прообразом точки ω при отображении ω = f (z) . Точка ω может иметь несколько (и даже бесконечно много) прообразов. Например, при отображении ω = zn каждая точка ω ≠ 0 имеет ровно n прообразов — корней n-й степени из ω .

Отсюда следует, что поведение функции комплексного переменного нельзя проиллюстрировать с помощью графика в декартовой системе координат, плоской или трехмерной. Чтобы представить себе геометрические свойства функции ω = f (z) , нужно исследовать, на какие множества

отображаются те или иные области и кривые.

Пример 3.1. Найти, на какую область отображается

Выясним, в какую кривую переходит граница области D при

отображении ω = z2 . Предположим, что эта граница обходится начиная от точки z = 0 в положительном направлении (т.е. так, что при обходе область D остается слева — рис. 2.4, а). Из формул (3.1) следует, что отрезок действительной оси 0 ≤ r ≤ R, ϕ = 0 , перейдет

26

отрезок 0 ≤ ρ ≤ R2 , θ =π , т.е. в отрезок [-R, 0] действительной

оси. Каждая внутренняя точка z четверти круга D перейдет во внутреннюю точку полукруга Е на плоскости ω , и при этом весь полукруг Е будет заполнен образами точек z полностью, без всяких "дырок".

Пример 3.2. Найти, на какую область отображается круг

27

Проколотой δ -окрестностью точки z0 называется δ -

окрестность этой точки, за исключением самой точки z0 (т.е. внутренность круга радиуса δ с центром z0 , из которого

28

удален центр z0 ). Это множество можно записать в виде

неравенств: 0 < z − z0 <δ .

Пусть функция ω = f (z) определена в некоторой проколотой окрестности точки z0 . Число А называется

пределом функции ω = f (z) в точке z0 , если для любого ε > 0

найдется такое δ > 0 (зависящее от ε ), что для всех точек проколотой δ -окрестности точки z0 выполняется неравенство

f (z) − A <ε .

такая проколотая окрестность точки z0 , что для всех точек z из

этой проколотой окрестности соответствующее значение ω = f (z) лежит в U A . В такой форме определение предела

охватывает и случаи z = ∞ и (или) A = ∞; под проколотой окрестностью точки z = ∞ понимается множество z > R .

Данное определение предела аналогично определению предела для функций действительных переменных. Поэтому такие важные теоремы, как теоремы о пределе суммы, произведения, частного и т.д., сохраняют силу и для функций

u(x, y) , v(x, y) двух действительных переменных х и у.

29

δ > 0, что для всех точек проколотой δ -окрестности точки z1 ,

принадлежащих области D, выполняется неравенство f (z) − A <ε .

На рис. 2.6 указанные точки из D отмечены штриховкой. Перейдем к определению непрерывности функции

комплексного переменного.

Функция ω = f (z) , определенная в окрестности (не проколотой!) точки z0 , называется непрерывной в точке z0 , если

действительных функций u(x, y) и v(x, y) переменных х и у в

точке (x0 , y0 ) .

Функция ω = f (z) , определенная в области D, называется непрерывной в этой области, если f (z) непрерывна в каждой точке области D. Функция ω = f (z) называется непрерывной в

замкнутой области D , если она определена в D и для каждой точки z0 D (включая граничные точки) выполнено равенство

30