Учебное пособие 1865

для любого z. Значит, l = 0 < 1 для каждого z . Поэтому ряд (6.8) абсолютно сходится во всей комплексной плоскости

;в этом случае радиус сходимости R = ∞. Пример 3.3. Найти круг сходимости ряда

n=0

Решение. Опять воспользуемся признаком Даламбера:

Таким образом, если z = 0, то l = 0 < 1, и ряд (6.5) сходится; если z ≠ 0 , то l = ∞ >1, и ряд (6.5) расходится. Следовательно, круг сходимости вырождается в единственную точку z = 0, а радиус сходимости R = 0.

Пример 3.4. Найти множество сходимости ряда

z −2 = l >1 расходится. Поэтому кругом сходимости является

сходимости ряд (6.10) также будет абсолютно сходящимся, и

131

множеством его сходимости является замкнутый круг z −2 ≤1.

Отметим основные свойства степенных рядов.

Свойство 6.5. Ряд (6.5) сходится абсолютно и равномерно в любом круге z − z0 < r < R , лежащем внутри

круга сходимости.

Доказательство. Если z − z0 < r < R , то существует

Свойство 3.6. Сумма S(z) ряда (6.5) является аналитической функцией внутри круга сходимости.

Доказательство. Возьмем произвольную точку z' внутри круга сходимости. Найдется такое число r, что

z′− z0 < r < R . По свойству 3.5 ряд (6.5) равномерно сходится

аналитической функцией в этом круге (и даже во всей комплексной плоскости ). По теореме 3.6 (Вейерштрасса)

сумма S(z) будет аналитической функцией в круге z − z0 < r и,

132

вчастности, в точке z'. Тем самым аналитичность функции S(z)

влюбой внутренней точке круга сходимости установлена.

Свойство 3.7. Степенной ряд

S(z) = c0 +c1 (z − z0 ) +c2 (z − z0 )2 +... +cn (z − z0 )n +... =

∞

= ∑cn (z − z0 )n (6.11)

n=0

можно почленно интегрировать внутри круга сходимости, т.е.

где z' — произвольная точка внутри круга сходимости ряда (6.11). Полученный при этом степенной ряд (6.12) имеет тот же круг сходимости, что и исходный ряд (6.11).

Доказательство. Как и при доказательстве свойства 3.6, выберем число r, такое что z′− z0 < r < R . Ряд (6.11) равномер-

но сходится в круге z − z0 < r , его члены являются

непрерывными (и даже аналитическими) функциями в этом круге. Поэтому возможность почленного интегрирования и равенство (6.12) следуют из теоремы 3.4 и равенства (6.8); в качестве кривой Г в (6.8) можно выбрать любую кривую,

идущую из z0 в z' внутри круга z − z0 < r , например отрезок

[ z0, z' ]. Так как степенной ряд (6.12) сходится в любой точке z', лежащей внутри круга сходимости ряда (6.11), то радиус сходимости R1 ряда (6.12) не может быть меньше радиуса сходимости R ряда (6.11), т.е. R1 ≥ R .

Покажем, что на самом деле R1 = R. Предположим противное, т.е. R1 > R. Возьмем число R', такое что R < R' < R1. По свойству 3.5 ряд (6.12) равномерно сходится в круге

z − z0 < R′. Так как этот ряд составлен из аналитических функций, то, согласно теореме 3.6 (Вейерштрасса), его можно

133

R < R', то сходимость будет и в некоторых точках z′, лежащих

требовалось доказать.

Свойство 3.8. Степенной ряд (6.11) можно почленно дифференцировать внутри круга сходимости любое число раз:

………………………………………………………………………

S(n)(z) = n(n −1)(n −2)...1cn +(n +1)n(n −1)...2cn+1 (z − z0 ) +...

(6.15)

Полученные при дифференцировании ряды (6.13)—(6.15) имеют тот же круг сходимости, что и исходный ряд (6.11).

Доказательство. Пусть z' — произвольная точка круга

аналитических функций и равномерно сходится в круге z − z0 < R , то по теореме Вейерштрасса его можно почленно

дифференцировать в этом круге (а следовательно, и в точке z') любое число раз. Таким образом, ряды (6.13)—( 6.15) будут сходиться в любой точке круга сходимости ряда (6.11) к соответствующим производным функции S(z). Значит, радиусы сходимости рядов (6.13)—( 6.15) не меньше, чем R.

Докажем вначале, что радиус сходимости R1 ряда (6.13) равен R. Пусть это неверно, т.е. R1 > R. Проинтегрировав этот

ряд внутри круга z − z0 < R1 , мы получим исходный ряд (6.11)

134

(кроме первого члена c0, отбрасывание которого не влияет на сходимость ряда). По свойству 3.7 проинтегрированный ряд

имеет тот же круг сходимости z − z0 < R1 . Значит, ряд (6.11)

имеет радиус сходимости R1 > R, что противоречит условию. Итак, R1 = R, т.е. при однократном дифференцировании радиус и круг сходимости сохраняются. Но ряд (6.15) получается дифференцированием ряда (6.13). Значит, его радиус сходимости также равен R и т.д.

Замечание. Хотя круг и радиус сходимости степенного ряда остаются неизменными при почленном интегрировании и дифференцировании ряда, сходимость (или расходимость) в граничных точках круга при этих операциях может не сохраняться.

Свойства 3.7 и 3.8 позволяют иногда найти сумму ряда. Пример 3.9. Найти сумму S(z) ряда

∞

∑nzn .

n=1

Решение. Воспользуемся равенством

(см. пример 3.1). Дифференцируя этот ряд почленно, получим

Осталось домножить левую и правую части равенства на z:

6.4. Ряды Лорана

Рассмотрим разложения в ряды более широкого класса функций, чем рассматривали прежде, а именно: будем изучать такие (однозначные) функции, которые аналитичны не во всем

135

круге z − z0 < R , а лишь в кольце r < z − z0 < R . В частности, очень важным будет случай r = 0, т.е. разложение функции в проколотой окрестности точки z0. Эти разложения позволяют изучать функции в окрестности точек, где они теряют аналитичность (особых точек).

Заметим, что степенных рядов нам теперь будет недостаточно, поскольку такими рядами представляются

только функции, аналитические во всем круге z − z0 < R (см.

неотрицательными значениями п соответствующие члены с п = -1, -2,... и рассмотрим сумму двух рядов

n=−∞

сходимость обоих рядов в правой части (6.16). Докажем теоремы о существовании и единственности такого разложения. Начнем с теоремы существования.

Теорема 4.1 (теорема Лорана). Пусть функция f(z)

аналитична в кольце V ={r < z − z0 < R}. Тогда в этом кольце ее можно представить в виде суммы сходящегося ряда:

(здесь ρ — произвольное число, заключенное между r и R).

136

Доказательство. Пусть z — какая-либо точка кольца V. Построим кольцо V ′ ={r′< ζ − z0 < R′} лежащее внутри коль-

ца V и содержащее точку z. Для этого следует выбрать числа r' и R' так, чтобы

r < r′ < z − z0 < R′< R

(рис. 6.4). Обозначим через Г1 и Г2 окружности

ζ − z0 = R′ и ζ − z0 = r′;

часовой стрелке. Функция

f(z) аналитична в замкнутой области V ′, граница Г ' которой состоит из кривых Г1 и Г-2 (напомним, что при обходе границы область должна оставаться слева). По интегральной формуле Коши

Разложение в ряд первого интеграла в правой части (6.19) проводится так же, как и в доказательстве теоремы 4.2.

Функцию ζ 1− z представляем в виде

137

q <1 . Поэтому применима формула (6.19), согласно которой

причем ряд (6.20) сходится абсолютно и равномерно по переменному ζ на Г1. Умножая равенства (6.20) на функцию

равномерная сходимость рядов в (6.20) при этом не нарушается), и почленно интегрируя вдоль Г1, получаем

Итак, первый интеграл в правой части (6.19) мы разложили в сходящийся ряд по степеням (z — z0). Второй интеграл в (6.19) придется разлагать иначе, поскольку для

138

n=0

равномерной сходимости Вейерштрасса (теорема 2.2) ряд в правой части (6.23) сходится на Г2 абсолютно и равномерно по переменному ζ . Нам удобно переписать этот ряд в несколько

иной форме, введя новый индекс суммирования k равенством k = - п - 1, т.е. п = - к - 1. Когда n принимает значения 0,1, 2,..., индекс k пробегает значения - 1, - 2, - 3,... Поэтому равенство (6.23) перепишется в виде

равномерной сходимости рядов в (6.24) на окружности Г2) и почленно проинтегрируем вдоль Г2:

Индекс k в формулах (6.25), (6.26) можно заменить любой другой буквой; в частности, можно снова обозначить его через n,

где п = - 1, - 2,... Подставляя разложения (6.21) и (6.23) в (6.19),

свойством неизменяемости интеграла при деформации пути

139

интегрирования (следствие 4.4), интегралы в (6.22) и (6.26) не изменятся, если окружности Г1 и Г2 заменить любым другим замкнутым путем интегрирования, лежащим в этом кольце. В частности, если выбрать произвольное ρ , такое что r < ρ < R

Ряд (6.17) по целым степеням (z – z0) (как положительным, так и отрицательным), коэффициенты которого определяются по формулам (6.19), называется рядом

главной частью ряда Лорана (обоснованность названий выяснится в дальнейшем).

Перейдем теперь к вопросу о единственности разложения

(6.17).

Теорема 25.2 (теорема единственности разложения

Тогда f(z) является аналитической в V функцией, а коэффициенты cn , n = 0, ±1,±2,... разложения определяются

однозначно по формулам (6.18).

Доказательство. Так как по условию теоремы ряд (25.2) сходится в V, то сходятся оба ряда в правой части (6.16),

∞

составляющие ряд (6.17). Первый из них - ряд ∑cn (z − z0 )n -

n=0

является обычным степенным рядом, сходящимся в некотором круге с центром z0 и расходящимся вне этого круга. Поскольку этот ряд сходится в V, то все кольцо V лежит в круге сходимости. Так как сумма степенного ряда аналитична в круге сходимости (свойство 4.6), то сумма S1(z) ряда

140